Voy a obtener el precio de un bono cupón cero en un modelo de salto-difusión. La dinámica del tipo de interés es la siguiente $$dr_t=\kappa(\theta-r_t)dt+\sigma\sqrt{r_t}\,dW_t+d\left(\sum\limits_{i=1}^{N_t}\,J_i\right)$$ donde $N_t$ representa un proceso de Poisson con una tasa de intensidad constante $\lambda>0$ y $\{J_i\}_{i=1}^{\infty}$ denota las magnitudes de salto, que se suponen variables aleatorias i.i.d. con distribución $f_J$ independiente de $W_t$ y $N_t$ . Además, $W_t$ se supone que es independiente de $N_t$ . Además, los tamaños de los saltos $\,J_i$ tiene una distribución exponencial con densidad: $${{f}_{J}}(\chi )=\left\{ \begin{matrix} \eta {{e}^{-\eta\,\chi}}\,,\,\,\chi >0\, \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,o.w. \\ \end{matrix} \right.$$ donde $\eta > 0 $ es una constante. Puedo demostrar que el precio libre de arbitraje en el tiempo $t$ de un valor de tipo de interés negociado con pago $H(r)\in\,\mathcal{L^1}(\Omega\,,\,\mathcal{F}_T\,,\,Q)$ y la madurez $T$ satisface la siguiente ecuación integral parcial parabólica $$\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}r\frac{{{\partial }^{2}}F}{\partial {{r}^{2}}}+\kappa (\theta -r)\frac{\partial F}{\partial r}-rF+\lambda \int_{-\infty }^{\infty }{(F(t,r+\chi ,T)-F(t,r,T)d\chi =0}$$ con la condición de límite $F(T,r,T)=H(r)$ . Obviamente, en el caso del bono de cupón cero tenemos $$H(r)=P(T,r,T)=1$$
Mi reto
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Quiero resolver esta PIDE que lleva a la fórmula de fijación de precios de los bonos, pero no tengo una buena idea. Lo sé. $$F(t,r,T)={{E}}^{\mathbb{Q}}\left[ {{e}^{-\int_{t}^{T}{{{r}_{s}}ds}}}|{\mathcal{F}_{t}} \right]=\exp \left[ A(T,t)-B(t,T){{r}_{t}} \right] \,\,\,\,\,\,(1)$$ pero no puedo extraer estas funciones deterministas. De hecho, sustituyo $(1)$ en la PIDE. Entonces tengo un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias que determinan las funciones de los coeficientes.
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¿Cómo puedo aproximar esta PIDE por métodos numéricos? De hecho, no tengo otras condiciones de contorno .
