Dificultad en un problema de optimización de la economía utilizando las condiciones de Kuhn-Tucker (dificultad de interpretación)

Question

Tengo problemas para resolver correctamente el siguiente problema:

Una empresa quiere minimizar sus costes totales, con la condición de que los ingresos obtenidos por la venta de las cantidades $x_1, x_2$ de los dos productos que produce superan un determinado umbral mínimo. Sabiendo que los costes unitarios de fabricación de cada bien son funciones lineales de los productos producidos de la forma $C_1 = x_1, C_2 = 2x_2$ que todo lo que se produce se vende y que los precios de venta de los productos son: $p_1 = 1$ y $p_2 = 3$ respectivamente. Determine las cantidades $x_1, x_2$ que minimicen el coste del proceso.

Solución:

$x_1 = 6/11$

$x_2 = 9/11$

$\lambda = -12/11$

$TotalCost(x_1,x_2) = 18/11$

Intenté resolverlo por la vía común: utilizando la función de Lagrange con las condiciones de Kuhn-Tucker. Sin embargo, no puedo llegar a la solución correcta, a pesar de que lo he intentado varias veces. Creo que no estoy construyendo la función de Lagrange correctamente como consecuencia de no entender bien el significado económico de lo que el problema quiere que resuelva.

Así que estaría muy agradecido si usted puede ayudarme a entender cómo llegar a la solución correcta a este problema específico , sabiendo que la aclaración cómo construir la función de Lagrange y sus restricciones es probablemente lo que se necesita aquí para comprender plenamente el problema y su solución.

Answer 1

El operador aclaró en un comentario que a) "ingresos" significa aquí "ingresos" y no "beneficios" (no es siempre el caso), y b) que los multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker funcionan bien si los definimos como no positivos en lugar de no negativos (lo hacen, pero no es un hecho ampliamente conocido).

La otra mala terminología en el enunciado del problema es la de "coste unitario" -en realidad se quiere decir "coste marginal"-. Así que tenemos que obtener la función de coste total a partir de sus derivadas parciales. Esto es fácil de hacer, ya que vemos que las parciales cruzadas son cero.

Así que si

$$\frac {\partial TC}{\partial x_1} = x_1,\;\; \frac {\partial TC}{\partial x_2} = 2x_2$$

se deduce que

$$TC = \frac 12 x_1^2 + x_2^2 + FC,\;\;\;FC\geq 0$$

y queremos minimizarlo sujeto a la restricción $p_1x_1 + p_2x_2 \geq \bar R$ .

PS: Parece que el piso de ingresos es $3$ ?

Answer 2

La forma de resolverlo es definiéndolo como un problema de maximización. He aquí una breve explicación de la exploración. 1. Formular el problema original, con $k$ que denota el umbral de ingresos (o beneficios).

2. Expresarlo como un problema de maximización ( $min(f) = - max(-f) $ ). También he vuelto a establecer la condición de los ingresos (o beneficios), aunque después de todo podría ser innecesario (véase más adelante).

3. Formular el lagrangiano.

4. Obtener las derivadas parciales de la lagrangiana.

5. Iguala las derivadas a cero y resuelve para $x_1$ y $x_2$ .

6. El paso anterior lleva a $x_1=2x_2 / 3$ .

7. Sustituir $x_1$ y $x_2$ en la condición de ingresos (o beneficios).

8. El paso anterior conduce a un óptimo $x_1$ y $x_2$ .

9. Sustituto óptimo $x_1$ y $x_2$ en el problema original.

Parece que el problema utiliza $k=3$ como el umbral mínimo de ingresos (o beneficios), ya que ese umbral da $TotalCost=18/11$ , $x_1=6/11$ y $x_2=9/11$ .

No sé cómo darle sentido a lo negativo, pero (positivo) $12/11$ se deriva de la condición (en el paso 5) $2x_1=$ .