La fórmula de Ito para el proceso de salto

Question

Dejemos que $\{N_t\,|\,0\leq t\leq T\}$ sea un proceso de Poisson con intensidad $\lambda>0$ definido en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F}_t,P)$ con respecto a la filtración $\mathcal{F}_t$ y $$\begin{align} X_t=e^{(\lambda-\eta)\,t}\,\left(\frac{\eta}{\lambda}\right)^{N_t}, \end{align}$$ donde $\eta>0$ ¿Cómo puedo obtener $dX_t$ ?

Answer 1

Escriba $X_t = A_t B_t$ con $A_t = e^{(\lambda - \eta)t}$ y $B_t = \left(\frac{\eta}{\lambda} \right)^{N_t}$ .

Entonces $dX_t = A_t dB_t + B_t dA_t$ por la regla del producto del cálculo. No hay términos de segundo orden ya que ambos $A_t$ y $B_t$ son de variación finita (es decir $\langle A_t, B_t\rangle$ = 0).

Siguiente, $dA_t = (\lambda - \eta)A_t dt$ y $dB_t = B_t \cdot \left(\frac{\eta}{\lambda} - 1\right)dN_t$ . La forma de $dA_t$ se deduce del cálculo normal, y la forma de $dB_t$ resulta de restar los valores de antes y después del proceso de salto.

Utilizando los dos párrafos anteriores, obtenemos $$dX_t = A_tB_t \left( \left(\frac{\eta}{\lambda} - 1 \right)dN_t + (\lambda - \eta)dt\right) = X_t\left( \left(\frac{\eta}{\lambda} - 1 \right)dN_t + (\lambda - \eta)dt\right).$$

Edición para @Behrouz:

$dB_t = \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)^{N_t} - \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)^{N_{t-}}$ .

Cuando $N_t$ no salta, este valor es cero. Cuando $N_t$ salta, es igual a

$\left(\frac{\eta}{\lambda}\right)^{N_t} - \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)^{N_{t} - 1} = B_{t-}\left(\frac{\eta}{\lambda} - 1 \right)dN_t$

Así que, en realidad, en mi respuesta original, debería tener menos los límites de la mano izquierda para ser técnicamente correcto.

Answer 2

Por el lema de Ito,

$$\begin{align} dX_t=\frac{\partial X_t}{\partial t}dt+\frac{\partial X_t}{\partial N(t)}dN_t+\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 X_t}{\partial N^2_t}(dN_t)^2+\frac{\partial^2 X_t}{\partial N_t\partial t}{}dN_tdt+\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 X_t}{\partial N^3_t}(dN_t)^3+... \end{align}$$ Desde $dN_t\,dt = 0, (dN_t)^2 = (dN_t)^3 = . . . = dN_t$ tenemos $$\begin{align} dX_t=\frac{\partial X_t}{\partial t}dt+\left(\frac{\partial X_t}{\partial N_t}+\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 X_t}{\partial N^2_t}+\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 X_t}{\partial N^3_t}+...\right)dN_t. \end{align}$$ Por otro lado $$\begin{align} &\frac{\partial X_t}{\partial t}=(\lambda-\eta)\,X_t\\ &\frac{\partial^n X_t}{\partial N_t^n}=\left[\ln \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)\right]^nX_t,\\ \end{align}$$ por lo tanto

$$\begin{align} dX_t=(\lambda-\eta)\,X_tdt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\ln \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)\right]^nX_t\,dN_t \end{align}$$ Sabemos que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\ln \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)\right]^n=exp\left(\ln \left(\frac{\eta}{\lambda}\right)\right)-1=\frac{\eta}{\lambda}-1=\frac{\eta-\lambda}{\lambda}$ por lo que tenemos $$\begin{align} dX_t=(\lambda-\eta)\,X_tdt+\frac{\eta-\lambda}{\lambda}X_t\,dN_t \end{align}$$