FTAP con el modelo Heston

Question

Se invoca el Teorema Fundamental del Precio de los Activos (TFP) cuando decimos que el tiempo $0$ precio de una opción europea con pago $g$ es $e^{-rT}E_Q(g(S_T))$ con la hipótesis de que $e^{-rt}S_t$ es un $Q$ -martingala. Esta condición de martingala se satisface si suponemos $S_t$ sigue un movimiento browniano geométrico con deriva $r$ por lo que podemos utilizar Monte Carlo para estimar el precio como $$ e^{-rT}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N g(S_T^i) $$ donde $\{S_T^i\}$ son lognormales.

Es justo, pero lo que permite hacer esta misma estimación de Monte Carlo suponiendo $S_t$ sigue la dinámica del modelo de Heston? En particular, ¿en qué condiciones $e^{-rt}S_t$ ¿una martingala para alguna medida? No conocemos la distribución de $S_t$ bajo este modelo, por lo que no es tan sencillo como el Black-Scholes. Ciertamente podemos simular las trayectorias de este modelo y calcular la suma anterior, que es lo que parece que hace la gente, pero ¿qué justifica esto teóricamente?

Answer 1

No se necesita ninguna suposición sobre las propiedades distributivas de $S_t$ . Lo que importa para el FTAP es sólo la deriva.

Por definición, la medida de riesgo neutral $Q$ es la medida, equivalente a la medida natural $P$ (*), bajo el cual la tasa de rendimiento local (es decir, la deriva instantánea de la SDE de $S_t$ por unidad de $S_t$ ) de "cualquier" activo negociado $S_t$ (pero también el precio del derivado $g_t$ ) es $r$ el tipo libre de riesgo del mercado.

Equivalentemente, esto consiste en exigir que el precio de cualquier activo negociado medido en unidad de la unidad de referencia fundamental del valor de la cuenta bancaria (alias numeraire ) $B_t=e^{rt }$ ( $B_0=1$ ) es una martingala: $$ E^Q_0 \left[\frac{g_T}{B_T}\right] = \frac{g_0}{B_0} $$ que es el precio es, como usted mencionó $$ g_0=e^{-rT} E^Q_0 \left[g_T\right] $$ y esto es válido para cualquier activo negociado, independientemente de su naturaleza (acción, materia prima, índice, derivado...).

Esto es realmente una equivalencia. En efecto, al ser $\mu$ la tasa de rendimiento local de $g_t$ en $Q$ : $$ dg_t= \mu g_t dt + (\cdots) dW $$ que tiene para $m_t=g_t/B_t$ por el lema de Ito: $$ d m_t = [-r m_t + (\mu g_t) (1/B_t)] dt + (\cdots) dW $$ que es una martingala (sin condición de deriva) siempre que $$\mu = r$$ .

Como puedes ver, el término de difusión no juega ningún papel en este contexto. Que la dinámica del activo sea normal, lognormal o con volatilidad estocástica no importa (**)

(*) el que "vive", es decir, el que exige una prima de riesgo, por encima de la rentabilidad sin riesgo $r$ por asumir el riesgo de mantener el activo de riesgo $S_t$ .

(**) para su futura referencia: la volatilidad no cambia bajo el cambio de medida (véase el capítulo 2 de Brigo-Mercurio sobre los derivados de los tipos de interés). Es un concepto avanzado, quizá sea mejor empezar por la base: Bjork "Teoría del arbitraje en tiempo continuo" Capítulo 10.

Answer 2

Puede utilizar este artículo

• Distribución de probabilidad de los rendimientos en el modelo Heston con volatilidad estocástica

Dejemos que $$\begin{align} & d{{S}_{t}}=r{{S}_{t}}dt+\sqrt{{{\nu }_{t}}}\left( \rho dW_{1}^{Q}(t)+\sqrt{1-{{\rho }^{2}}}dW_{2}^{Q}(t) \right) \\ & d{{v}_{t}}=\kappa (\theta -{{v}_{t}}){{d}{t}}+{{\sigma }_{v}}\sqrt{{{\nu }_{t}}}dW_{1}^{Q}(t) \\ \end{align}\ $$

podemos mostrar

$${{S}_{T}}={{S}_{t}}\exp(X_t)\tag 1$$ donde $$X_t= \left( r\tau-\frac{1}{2}\int_{t}^{T}{{{v}_{s}}}ds+\rho \int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}_{s}}}}dW_{1}^{Q}(s)+\sqrt{1-{{\rho }^{2}}}\int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}_{s}}}}dW_{2}^{Q}(s) \right)\tag 2$$ y $$v_t=v_s+\kappa\theta(t-s)-\kappa\int_{s}^{t}{{{v}_{u}}}du+\sigma_v\int_{s}^{t}\sqrt{v_u}dW_1^{Q}(u)$$ Como saben, la condición de un valor realizado de $v_s$ la variable aleatoria $2c_t v_t$ sigue una distribución chi-cuadrado no central, donde $$c_t=\frac{2\kappa}{\sigma_v^2(1-e^{-\kappa(t-s)})}\tag 3$$ por lo tanto puede hacer este procedimiento :

• Generar una muestra de la distribución de $v_t$ dado $v_s$ .
• Generar una muestra de la distribución de $\int_{s}^{t}{{{v}_{u}}}du$ dado $v_t$ y $v_s$ .
• Recuperar $\int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}_{s}}}}dW_{1}^{Q}(s)$ de $(1),(2)$ dado $v_t$ , $v_s$ y $\int_{t}^{T}{{{v}_{s}}}ds$ .
• Generar una muestra de la distribución de $S_t$ dado $\int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}_{s}}}}dW_{1}^{Q}(s)$ y $\int_{t}^{T}{{{v}_{s}}}ds$ .