Eliminar el bien lineal de la función de utilidad casi lineal

Question

Dada una función de utilidad casi lineal: $u(x_1, x_2) = f(x_1) + \beta x_2$ , $\beta > 0 $

¿Qué pasaría si el bien 2 ( $x_2$ ) se retira del mercado? La nueva función de utilidad sería $u(x_1) = f(x_1)$ ? En ese caso, la función de demanda sería simplemente $x_1 = m/p_1$ ? Quiero encontrar la nueva función de demanda así como las nuevas curvas de indiferencia y dibujarlas en un diagrama, pero no sé cómo proceder. Seguramente no puedo graficarlas en $x_1, x_2$ espacio si no hay más $x_2$ . O seguiría graficándolos en $x_1, x_2$ espacio como líneas verticales?

Espero que mi pregunta sea comprensible, gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esta es una posible interpretación. La retirada del bien 2 del mercado puede interpretarse simplemente como $x_2 = 0$ . En una interpretación económica, el bien no desaparece simplemente de la función de utilidad en el sentido de que las preferencias no cambian, sino que lo que cambia es la disponibilidad del bien. Se trata de una condición externa, por lo que se puede considerar simplemente como una restricción del mercado $x_2 = 0$ .

Ahora, considerando las curvas de indiferencia como los diferentes paquetes para los que el consumidor obtiene el mismo nivel de utilidad, y definiendo este nivel como $k$ . Está claro que para cualquier $k$ cuando sólo hay un bien, cada "curva de indiferencia" constará de un solo punto (en particular $x_{1}|u(x_1,0) = k$ ). En un gráfico bidimensional esto corresponderá simplemente a algún punto ( $x_1$ 0) para cada $k$ nivel.

La función de demanda debería ser bastante sencilla.

Answer 2

Si sólo tienes un bien en tu función de utilidad, entonces no necesitas una curva de indiferencia. La razón por la que utilizamos la CI es porque no podemos dibujar gráficos tridimensionales correctamente sin un ordenador (Recuerde $U(x,y)$ requiere 3 ejes para trazar: eje X, eje Y y un eje Z para trazar los valores de U). Así que la curva de indiferencia (que básicamente dibuja los contornos de la función de utilidad) proporciona una ilustración fácil.

Teniendo en cuenta esta advertencia, vamos a trazar el CI de $U(x,y) = f(x)$ . La forma correcta de pensar en esto es que la buena $Y$ está disponible, pero el consumidor no obtiene ninguna utilidad de ella.

Recordemos la definición de curva de indiferencia: Una curva de indiferencia con nivel de utilidad $k$ es el conjunto de todos los paquetes $(x,y)$ tal que $U(x,y)=k$ .

En nuestro caso, supongamos que $(x^*,0)$ proporciona el nivel de utilidad $k$ : $U(x^*,0)=f(x^*)=k$ . ¿Qué otros paquetes ofrecen la misma utilidad? Tenga en cuenta que puede cambiar $y$ y seguir recibiendo utilidad $k$ : $U(x^*,0)=U(x^*,1)=.....=k$ y así sucesivamente. Así, el CI que produce la utilidad $k$ es un línea vertical (paralela al eje Y) .

Suponiendo que $f(x)$ es creciente, las líneas verticales hacia la derecha corresponden a niveles de utilidad más altos (obvio, ya que el valor de $x$ aumenta a medida que nos movemos hacia la derecha).

Ahora puede comprobar fácilmente que el paquete óptimo debe ser $x^*=\frac{m}{p}$ . Dibuja el CI vertical. Dibuja la línea presupuestaria descendente. Dado que la mayor utilidad se consigue moviéndose hacia la derecha, sigue moviéndote hasta que alcances el punto extremo derecho de tu conjunto de presupuestos, que es exactamente el punto $(\frac{m}{p},0)$ .