¿Cómo construir una cartera neutra para el mercado utilizando CVXPY?

Question

Estoy tratando de implementar una simple optimización de cartera de varianza mínima con algunas restricciones simples:

• cartera de inversión a largo plazo
• totalmente invertido (suma a uno)
• neutralidad del mercado, es decir, suma (betas) = 0.

No tengo mucha experiencia con cvxpy pero me gusta bastante y quiero implementar mis cosas con él en el futuro. Abajo hay un ejemplo (del sitio web de cvxpy), que utiliza

$$\min_x\;\; \frac{1}{2}x^T\Sigma x$$ Con las limitaciones $$x^T \mathbb{1}=1$$ $$\mu^Tx \geq \tau$$

Ahora quiero añadir $B^Tx=0$ , lo que garantizará que la beta de las carteras sea cero.

Este es el ejemplo:

from cvxpy import *
import numpy as np

np.random.seed(1)
n = 10
Sigma = np.random.randn(n, n)
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)

betas = [np.random.uniform(-1,1) for _ in range(10)]

w = Variable(n)

risk = quad_form(w, Sigma)
constraints = [sum_entries(w) == 1, w >= 0]
prob = Problem(Minimize(risk), constraints)

for i in range(100):
    prob.solve()

print('Weights :', w.value)

¿Cómo puedo definir la variable adicional para la beta y cómo se modifica la lista de restricciones?

Por el manual supongo que necesitamos algo en forma de quad_form() Pero, ¿tiene que definirse de forma similar a la variable de riesgo del ejemplo o dentro del objeto de restricciones? ¿Cómo se vincula con el vector de datos de las betas?

Habría hecho algo como

sum(quad_form(w, betas)) == 0 

dentro del objeto de las restricciones, lo que lamentablemente no funciona.

Answer 1

La restricción puede implementarse simplemente creando la siguiente restricción

w.T*beta == 0

Answer 2

La restricción que sugieres es errónea ya que implica $x^T B x = 0$ que no es lo que quieres.

La forma correcta de expresar $B^T x = 0$ es w.T * beta == 0 y debe incluirlo en la lista de restricciones:

constraints = [sum_entries(w) == 1, w >= 0, w.T * beta == 0]

También las siguientes líneas se ven mal:

for i in range(100):
    prob.solve()

Parece que estás resolviendo cien veces tu problema. Una llamada debería ser suficiente.