¿Un valor esperado más alto y una misma varianza implica una dominancia débil?

Question

En su libro Riesgo y asignación de activos , Meucci escribe (último párrafo)

De hecho, como todos los índices de satisfacción $\mathcal{S}$ discutido en el capítulo 5 son consistentes con la dominancia estocástica débil, para un nivel de varianza del objetivo, los valores esperados más altos del del objetivo son siempre apreciados, sin importar la expresión funcional expresión de $\tilde{\mathcal{H}}$ .

Estoy tratando de averiguar el contenido matemático/prueba detrás de esta afirmación. El contexto:

Dejemos que $\mathbf{M} : \Omega \to \mathbb{R}^n$ sea un vector aleatorio, $\mathbf{\alpha} \in \mathbb{R}^n$ .

Definir una variable aleatoria $\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha} = \mathbf{\alpha}^T \mathbf{M}$ El objetivo .

Dejemos que $\mathcal{S}(\mathbf{\alpha}) = \tilde{\mathcal{H}}(\mathrm{E}\{\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha}\}, \mathrm{Var}\{\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha}\})$ El índice de satisfacción .

Además, supongamos que $\mathcal{S}$ es consistente con la dominancia estocástica débil, es decir.

$$\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha} \leq_{\mathrm{weak}} \mathbf{\Psi}_\mathbf{\beta} \Rightarrow \mathcal{S}(\mathbf{a}) \leq \mathcal{S}(\mathbf{b})$$

Siento que Meucci está diciendo que si $\mathrm{Var}\{\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha}\} = \mathrm{Var}\{\mathbf{\Psi}_\mathbf{\beta}\}$ y $\mathrm{E}\{\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha}\} \leq \mathrm{E}\{\mathbf{\Psi}_\mathbf{\beta}\}$ entonces $\mathbf{\Psi}_\mathbf{\alpha} \leq_{\mathrm{weak}} \mathbf{\Psi}_\mathbf{\beta}$ . Pero esto no es cierto.

Answer 1

Creo que lo he entendido. En un párrafo anterior Meucci dice

Supongamos que podemos centrarnos sólo en los dos primeros momentos y descuidar todos los momentos superiores.

Por tanto, dos variables aleatorias son equivalentes si sus dos primeros momentos coinciden. Por lo tanto, cualquier variable aleatoria puede ser sustituida por $\mathcal{U}(\mu - \sqrt{3}\sigma, \mu + \sqrt{3}\sigma)$ hasta $\mathcal{S}$ se refiere.

Observando la fdc que se muestra a continuación, queda claro que $$\mathcal{U}(\mu_1 - \sqrt{3}\sigma, \mu_1 + \sqrt{3}\sigma) \leq_\mathrm{weak} \mathcal{U}(\mu_2 - \sqrt{3}\sigma, \mu_2 + \sqrt{3}\sigma)$$ cuando $\mu_1 \leq \mu_2$ .

Answer 2

Esto se debe a que el autor ha asumido la aproximación (6.67) $$\mathcal{S}(\alpha)\approx \tilde{\mathcal{H}} (\mathrm{E}\{\Phi_\alpha\},\mathrm{Var}\{\Phi_\alpha\})$$ Es decir, el índice de satisfacción $\mathcal{S}(\alpha)$ depende sólo de los dos primeros momentos de los marginales. Como explica el autor en la sección 6.5.1, ésta es una buena aproximación porque en una amplia gama de aplicaciones el mercado $\mathbf M$ es _distribuido elípticamente_ (véase (6.126)).

Un ejemplo importante es $$ \mathbf{M}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma) $$ donde $\mathcal{N}$ es el multivariante Distribución gaussiana con la media $\boldsymbol \mu$ y la matriz de covarianza $\boldsymbol \Sigma$ . En este caso, si $\mathrm{Var}(\boldsymbol \Psi_\alpha)=\mathrm{Var}(\boldsymbol\Psi_\beta)$ y $\mathrm{E}[\boldsymbol \Psi_\alpha]\le\mathrm{E}[\boldsymbol\Psi_\beta]$ , entonces sí tenemos una dominancia estocástica débil, es decir, para todo $t\in \mathbb{R}$ , $$ P\{\boldsymbol\Psi_\alpha\le t\}=\int_{-\infty}^t \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu_1)^2}{2 \sigma^2}}dx\ge\int_{-\infty}^t\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu_2)^2}{2 \sigma^2}}dx= P\{\boldsymbol\Psi_\beta\le t\} $$ donde $\sigma^2=\mathrm{Var}(\boldsymbol \Psi_\alpha)=\mathrm{Var}(\boldsymbol\Psi_\beta)=\boldsymbol\alpha^T\boldsymbol \Sigma\boldsymbol\alpha= \boldsymbol\beta^T\boldsymbol \Sigma \boldsymbol \beta$ , $\mu_1=\mathrm{E}[\boldsymbol \Psi_\alpha]=\boldsymbol \alpha^T\mathrm{E}[\boldsymbol\Psi]$ , y $\mu_2=\mathrm{E}[\boldsymbol \Psi_\beta]=\boldsymbol \beta^T\mathrm{E}[\boldsymbol\Psi]$ . (Recordemos que decimos $\boldsymbol \Psi_\alpha\le_{\mathrm{weak}} \boldsymbol \Psi_\beta$ si $$P\{\boldsymbol\Psi_\alpha\le t\}\ge P\{\boldsymbol\Psi_\beta\le t\}$$ - la desigualdad se invierte - véase (5.35).)

El razonamiento para una distribución elíptica general es similar. Demostraremos que las funciones de distribución de $\boldsymbol \Psi_\alpha$ y $\boldsymbol \Psi_\beta$ son traslados entre sí. Como $\mathbf{M} $ se distribuye elípticamente distribuida, su función característica $\varphi_{\mathbf{M } }$ es de la forma $$ \varphi_{\mathbf{M } }( \boldsymbol t) = e^{i \boldsymbol t^T\boldsymbol\mu} \chi(\boldsymbol t^T\boldsymbol\Sigma \boldsymbol t) $$ para algunos $\boldsymbol\mu \in \mathbb{R}^N$ , matriz definida positiva $\boldsymbol\Sigma$ y la función característica $\chi$ . Por lo tanto, para cualquier $\boldsymbol \alpha \in \mathbb{R}^N$ la función característica función $\varphi_{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ de $\boldsymbol \Psi_\alpha=\boldsymbol\alpha^T \mathbf{M}$ es $$ \varphi_{\boldsymbol \Psi_\alpha}(t)=\varphi_{\mathbf{M } }(t\boldsymbol\alpha)= e^{it\boldsymbol \alpha^T\boldsymbol\mu} \chi(t^2 \boldsymbol\alpha^T\boldsymbol\Sigma \boldsymbol \alpha) $$ Después de calcular las derivadas de $\varphi_{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ encontramos que $$ E[\boldsymbol\Psi_\alpha ] =\boldsymbol\alpha^T\boldsymbol\mu $$ y $$ \mathrm{Var}(\boldsymbol\Psi_\alpha)=2\boldsymbol\alpha^T \boldsymbol\Sigma \boldsymbol\alpha\chi '(0) $$ Así, si $\mathrm{Var}(\boldsymbol\Psi_\alpha)=\mathrm{Var}(\boldsymbol\Psi_\beta)$ , entonces $\boldsymbol\alpha^T \boldsymbol\Sigma \boldsymbol\alpha=\boldsymbol\beta^T \boldsymbol\Sigma\boldsymbol\beta$ . Por lo tanto, $$ \varphi_{\boldsymbol \Psi_\beta}(t) =e^{it(\boldsymbol \beta^T\boldsymbol\mu-\boldsymbol \alpha^T\boldsymbol\mu)}\varphi_{\boldsymbol \Psi_\alpha}(t) $$ lo que implica que $$ f_{\boldsymbol \Psi_\beta}(x)=f_{\boldsymbol \Psi_\alpha}(x-(\boldsymbol \beta^T\boldsymbol\mu-\boldsymbol \alpha^T\boldsymbol\mu)) $$ es decir, las funciones de densidad $f_{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ y $f_{\boldsymbol \Psi_\beta}$ son traslados entre sí. Como $\boldsymbol \beta^T\boldsymbol\mu-\boldsymbol \alpha^T\boldsymbol\mu=E[\boldsymbol\Psi_\beta ]-E[\boldsymbol\Psi_\alpha ]\ge0$ por suposición, hemos demostrado que $\boldsymbol\Psi_\alpha\le_{\mathrm{weak}}\boldsymbol\Psi_\beta $ .