réplica de la cartera de autofinanciación para la medida de riesgo neutral

Question

Deje que el proceso de precios $S_{t}, 0 \leq t \leq T$ sea una difusión, y la cuenta de ahorro sea $\beta_{t}$ tal que la Medida Equivalente de Martingala $Q$ existe. Sea $C_{T}=g\left(X_{T}\right)$ sea la demanda en el momento $T$ para una función acotada $g$ . Demuestre que esta afirmación es alcanzable, y encuentre una cartera autofinanciada replicante para esta afirmación.

Mi intento:

El reclamo es alcanzable como $\frac{S_t}{\beta_{t}}$ es a $Q$ -martingale y existe una estrategia admisible. Por lo tanto $\frac{V(t)}{\beta(t)}$ también es una martingala Q.

La cartera de autorreplicación se puede encontrar como $V_{t}=a_{t} s_{t}+b_{t} e^{r t}$

$d V_{t}=a_{t} d s_{t}+r b_{t} e^{r t} d t$ es la autofinanciación.

dejar $\left.b_{t}=\left(V_{t}-a_{t} s_{t}\right)\right) e^{-r t}$ entonces tenemos

$d v_{t}=a_{t} d s_{t}+r\left(V_{t}-a_{t} s_{t}\right) d t$

$d V_{t}=a_{t} d s_{t}+r V_{t} d t-r a_{t} s_{t} d t$

No estoy seguro de cómo continuar con esta pregunta.

Answer 1

Con EMM $Q$ , asociado $Q$ -Movimiento browniano $W$ , filtración ${\cal F}$ y

$$d\beta_t = r_t \beta_t dt, \; \beta_t ={\rm e}^{\int_0^t r_u du},$$

considere martingala :

$$M_t =E\left[{\rm e}^{-\int_0^T r_u du} C_T | {\cal F}_t\right].$$

Por teorema de la representación martingala Hay un proceso $N_t$ tal que

$$M_t = M_0 + \int_0^t N_u dW_u,$$

donde $$M_0=E\left[{\rm e}^{-\int_0^T r_u du} C_T\right].$$

Con la ayuda de

$$d(\beta_t^{-1} S_t) = \sigma_t \beta_t^{-1} S_tdW_t$$

en $Q$ tenemos:

$$dM_t = N_t dW_t = a_t \sigma_t \beta_t^{-1} S_t dW_t = a_t d(\beta_t^{-1} S_t)$$

para $a_t$ elegido para ser

$$a_t := \frac{N_t\beta_t}{\sigma_t S_t }.$$

Estrategia $a_t$ y $b_t:= \beta_t^{-1}(M_t-a_tS_t)$

$$\Pi_t := b_t\cdot \beta_t + a_t \cdot S_t = \beta_t M_t$$

es admisible (bajo $Q$ , $\beta_t^{-1}\Pi_t$ es una martingala) y autofinanciación como

$$d(\beta_t^{-1}\Pi_t) = dM_t = a_t d(\beta_t^{-1} S_t).$$

También observamos que:

$$\Pi_T = \beta_T M_T = C_T.$$