Pregunta sobre el criterio de "no dictador" en el teorema de imposibilidad de Arrow

Question

Tengo una pregunta sobre el teorema de imposibilidad de Arrow. No estoy seguro de entender exactamente lo que significa el criterio de "no dictador". ¿Significa la presencia de un "dictador" que en todas las combinaciones posibles de ordenamientos de preferencias individuales para N individuos, las preferencias de la misma persona siempre coincidirán exactamente con el ordenamiento de preferencias del grupo? ¿O significa simplemente que en todas las combinaciones posibles de ordenamientos de preferencias individuales para N individuos, habrá algunos individuo para cada una de esas combinaciones cuyas preferencias coincidan exactamente con las del grupo, pero ese individuo no tiene que ser necesariamente el mismo para cada combinación?

Si es lo primero, puedo construir claramente un contraejemplo que (creo) satisface los otros dos criterios (unanimidad e independencia de alternativas irrelevantes). Por ejemplo:

Combinación 1:

Persona 1: A > B > C

Persona 2: B > A > C

Persona 3: C > A > B

Preferencia de grupo: A > B > C

Combinación 2:

Persona 1: A > B > C

Persona 2: B > A > C

Persona 3: B > A > C

Preferencia de grupo: B > A > C

En este ejemplo, la Persona 1 es el "dictador" en la combinación 1, pero no en la combinación 2. Por lo tanto, según la primera definición de "dictador" no hay ningún dictador en este sistema (también asumo que no he violado los otros dos criterios: que alguien me indique si lo he hecho). Si nos guiamos por la segunda definición de "dictador" anterior, seguro que este sistema tiene un "dictador" bajo cada combinación, pero esto no me parece una definición apropiada. Si la papeleta de voto cambiara con nuevos temas a clasificar (por ejemplo, A*, B* y C*) estos "dictadores" podrían dejar de tener influencia, así que ¿son realmente "dictadores" en el sentido que normalmente pensamos? ¿O es sólo una casualidad que sus preferencias coincidan con las del grupo? Obviamente, hay algo en el teorema que no estoy entendiendo, así que si alguien pudiera aclararlo, se lo agradecería mucho. Gracias.

Answer 1

El Teorema de Arrow se refiere a un función de preferencia social ---es decir, una función que produce un orden de preferencia de grupo para cada posible perfil de preferencias individuales. Los axiomas "No dictadura", "Independencia de las alternativas irrelevantes", etc. deben ser satisfechos por la función en cada perfil. (Para ser más precisos, un axioma como IIA implica una comparación entre el comportamiento de la función en dos diferentes perfiles. Por lo tanto, debe ser satisfecha por la función para cada par de perfiles). Tu contraejemplo sólo me muestra el resultado en dos perfiles concretos; no especifica la función en sí. Hasta que no especifiques una función, no podemos saber si se cumplen los axiomas. El Teorema de Arrow dice que, cuando intentas extender tu ejemplo para especificar completamente el resultado en cada perfil, tarde o temprano te encontrarás con una situación en la que deberás violar uno de los axiomas.