¿Cómo se deriva la ecuación (10) de la página 740 de He, Krishnamurthy (2013 AER) ?
Dicen que "dada la función objetivo logarítmica de la ecuación (8), el hogar con activos de riesgo elige $\alpha_t^h$ para resolver (donde hemos tomado el límite como $\delta \rightarrow dt$ )" donde la ecuación (8) está en la página 739
$$ \rho\delta \ln{c_t^h}+(1-\rho\delta)E_t[\ln w_{t+\delta}^h]$$
donde $\rho$ es el parámetro de preferencia temporal, $\delta$ es un incremento de tiempo, $w_{t+\delta}^h$ es un legado para la generación $t+\delta$ .
No me queda claro qué información utilizan para transformar la utilidad logarítmica en la ecuación (10) -- siento no poder reproducir aquí todo el entorno del modelo. Pero si alguien que conozca bien el documento pudiera responder, sería inmensamente útil.
Se lo agradezco mucho. Aquí hay una lista de la notación:
- $\alpha_t^h$ : La asignación de los hogares a los activos de riesgo
- $\tilde{dR_t}$ La rentabilidad del capital de los fondos propios de los intermediarios
- $r_t$ proceso de retorno para el activo sin riesgo
- $\rho$ : preferencia de tiempo para el especialista
- $\delta$ : incremento de tiempo, como en $t, t+\delta t, t+2\delta t, \cdots$ . Para pasar a tiempo continuo, toman el límite $\delta \rightarrow dt$ .
- $w_t^h$ : riqueza inicial dotada
- $\lambda$ parte de los hogares que sólo puede invertir en productos sin riesgo $(1-\lambda)$ de los hogares puede invertir tanto en lo que no tiene riesgo como en lo que tiene riesgo.
Edición 1 :--------------------
Creo que también ayudaría ver cómo se resuelve la decisión de consumo y ahorro. Agradecería que alguien lo hiciera.
Para mí, el mayor problema aquí es que no conozco la restricción presupuestaria, tengo que "adivinarla" basándome en cómo se describe el proceso de toma de decisiones en el documento. Siempre me ha parecido extraño que en economía a veces no se explique del todo el problema de optimización que se resuelve (es decir, que no se digan algunas de las restricciones), cuando podría haber (potencialmente) múltiples formas de escribir el problema.
Resolver el consumo:
De todas formas, esto es lo que tengo hasta ahora, y parece que he encontrado una forma (de nuevo, no tengo ni idea de si es así como lo hacen los autores) de derivar la regla de consumo.
Comience con
$$\rho\delta\ln c_{t}^{h}+\left(1-\rho\delta\right)E_{t}\left[\ln w_{t+\delta}^{h}\right]$$
Añadir $-\left(1-\rho\delta\right)\ln w_{t}^{h}$ a la función objetivo. Podemos hacerlo porque podemos añadir constantes a las funciones de utilidad sin afectar a las decisiones óptimas:
$$ \rho\delta\ln c_{t}^{h}+\left(1-\rho\delta\right)E_{t}\left[\ln w_{t+\delta}^{h}-\ln w_{t}^{h}\right] $$
Dividir por $\delta$ . De nuevo, se trata de una transformación monótona y, por tanto, de un cambio válido en la función objetivo:
\begin{align} & \rho\delta\ln c_{t}^{h}+\left(1-\rho\delta\right)E_{t}\left[\ln w_{t+\delta}^{h}-\ln w_{t}^{h}\right] \\ \implies & \rho\ln c_{t}^{h}+\left(1-\rho\delta\right)E_{t}\left[\frac{\ln w_{t+\delta}^{h}-\ln w_{t}^{h}}{w_{t+\delta}^{h}-w_{t}^{h}}\frac{w_{t+\delta}^{h}-w_{t}^{h}}{\left(t+\delta\right)-t}\right] \end{align}
Tome los límites como $\delta\rightarrow0$ :
$$ \rho\ln c_{t}^{h}dt+E_{t}\left[\frac{\partial}{\partial w_{t}^{h}}\left(\ln w_{t}^{h}\right)dw_{t}^{h}\right] = \rho\ln c_{t}^{h}dt+E_{t}\left[\frac{dw_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right] $$
Este siguiente paso es una especie de trampa, pero por la ecuación (11), sabemos que $$ \frac{dw_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}=\left(\frac{lD_{t}-c_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right)dt+\lambda r_{t}dt+\left(1-\lambda\right)\left[\alpha_{t}^{h}\tilde{dR}_{t}+\left(1-\alpha_{t}^{h}\right)r_{t}dt\right] $$ Toma las expectativas: \begin{align} E_{t}\left[\frac{dw_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right] & = E_{t}\left[\left(\frac{lD_{t}-c_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right)dt+\lambda r_{t}dt+\left(1-\lambda\right)\left[\alpha_{t}^{h}\tilde{dR}_{t}+\left(1-\alpha_{t}^{h}\right)r_{t}dt\right]\right] \\ & =\left(\frac{lD_{t}-c_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right)dt+\lambda r_{t}dt+\left(1-\lambda\right)E_{t}\left[\alpha_{t}^{h}\tilde{dR}_{t}+\left(1-\alpha_{t}^{h}\right)r_{t}dt\right] \\ & =\left(\frac{lD_{t}-c_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right)dt+\lambda r_{t}dt+\left(1-\lambda\right)E_{t}\left[r_{t}dt+\alpha_{t}^{h}\left(\tilde{dR}_{t}-r_{t}dt\right)\right] \\ & =\left(\frac{lD_{t}-c_{t}^{h}}{w_{t}^{h}}\right)dt+r_{t}dt+\left(1-\lambda\right)E_{t}\left[\alpha_{t}^{h}\left(\tilde{dR}_{t}-r_{t}dt\right)\right] \\ & =\left(\frac{lD_{t}-c_{t}^{h}+w_{t}^{h}r_{t}}{w_{t}^{h}}\right)dt+\left(1-\lambda\right)E_{t}\left[\alpha_{t}^{h}\left(\tilde{dR}_{t}-r_{t}dt\right)\right] \end{align}
Reordenando la siguiente condición de primer orden se obtiene la regla de consumo $ c_t^h = \rho w_t^h $ dada como ecuación (9) en el documento:
$$ \frac{\rho}{c_t^h} -(1/w_t^h) =0$$
La inversión:
Sin embargo, a la luz de la respuesta actual (y de la ecuación 10), lo anterior es incorrecto porque da la asignación de inversiones "equivocada". Aquí es donde estoy atascado. En este punto, mi derivación parece incorrecta, pero parece extraño que se asuma una función objetivo separada sólo para la variable de elección $\alpha_t^h$ sin alguna otra justificación de fondo. Pero, por supuesto, podría estar absolutamente equivocado.
Edición 2 :--------------------
¿Podría proporcionar la(s) restricción(es) (en fórmula matemática) para el problema de optimización de la ecuación (8)? Creo que puedo hacer el resto.
