Demostración de la propiedad derivativa de la función generadora de momentos

Question

En Shreve II, ejercicio 1.8, guía al lector a través de la demostración de la derivada de una función generadora de momentos $\phi$ es igual a la expectativa $\mathrm{E}[Xe^{tX}]$ ; es decir, $$\phi^\prime(t) = \mathrm{E}[Xe^{tX}].$$ Primero lo hace asumiendo $X$ es no negativo y pide al lector que utilice el teorema de la congestión dominada junto con el teorema del valor medio, luego pide al lector que lo demuestre para un integrable $X$ considerando las partes positivas y negativas.

Mi pregunta es, ¿es necesaria toda esta maquinaria para este ejercicio? Suponiendo que $X$ tiene una función de densidad $f$ , yo demostraría este resultado mediante $$\phi^\prime(t) = \frac{d}{dt}\int_{0}^\infty e^{tx}f(x) dx = \int_{0}^\infty \frac{d}{dt}e^{tx}f(x) dx = \int_{0}^\infty xe^{tx}f(x) dx = \mathrm{E}[Xe^{tX}],$$ donde supongo que tendría que justificar el desplazamiento de la derivada dentro de la integral (¿es suficiente que $e^{tx}$ es continua en $t$ ?)

Entonces, ¿es esta prueba más rigurosa en Shreve sólo para mostrar que se sostiene si $X$ ¿no tiene densidad? ¿O quizás sólo para practicar el uso del teorema de convergencia dominante? Me gustaría que los autores expusieran el espíritu de sus ejercicios...

Answer 1

Como ha dicho Sherev, primero dejemos $\varphi(t)=E\left[e^{tX}\right]$ entonces $$\varphi '(t)=\underset{s\to t}{\mathop{\lim }}\,\frac{\varphi (t)-\varphi (s)}{t-s}=\underset{s\to t}{\mathop{\lim }}\,\frac{E[{{e}^{tX}}]-E[{{e}^{sX}}]}{t-s}=\underset{s\to t}{\mathop{\lim }}\,E\left[ \frac{{{e}^{tX}}-{{e}^{sX}}}{t-s} \right]$$ Sherev continuar, podemos elegir una secuencia de números $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ que converge a $t$ y calcular $$\underset{s_n\to t}{\mathop{\lim }}\,E\left[ \frac{{{e}^{tX}}-{{e}^{s_nX}}}{t-s_n} \right]$$ donde ahora estamos tomando un límite de las expectativas de la secuencia de variables aleatorias variables aleatorias. $$Y_n=\frac{{{e}^{tX}}-{{e}^{s_nX}}}{t-s_n}$$ arregla $\omega\in \Omega$ y por aplicación del Teorema del Valor Medio concluye $$e^{tX(\omega)}-e^{s_nX(\omega)}=(t-s_n)X(\omega)e^{\theta(\omega )X(\omega)}$$ donde $\theta(\omega)$ es un número que depende de $\omega$ tal que $s_n\leq\theta(\omega)\leq t$ .

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$$|Y_n|=\left|\frac{e^{tX(\omega)}-e^{s_nX(\omega)}}{t-s_n}\right|\leq X(\omega) e^{\theta(\omega )X(\omega)}\leq X(\omega) e^{2t\,X(\omega)}$$ Así que por el Teorema de Convergencia Dominada tenemos $$\varphi'(t)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,E[{{Y}_{n}}]=E[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{Y}_{n}}]=E[X{{e}^{tX}}]$$

Answer 2

Se necesita toda la maquinaria para intercambiar el signo de la integral y la derivada.