¿Cómo modificar el árbol binomial para incorporar un activo más?

Question

Me pregunto qué pasaría si utilizamos el árbol binomial para valorar la opción de intercambio, una opción de intercambio de un activo por otro en la fecha de vencimiento. El pago es $\max(S_1-S_2,0)$

Por ejemplo, tengo dos activos cuyo pago es el siguiente: $\begin{bmatrix}1.1&0.9\\1.1&1.1\\0.9&1.1\end{bmatrix}$ y $S_0^1=100$ y $S_0^2=95$ La tasa libre de riesgo es $R_f=4\%$ y $T=6$

¿Cómo se puede tratar la dimensión adicional? Mi intuición es utilizar el árbol binomial como siempre. Sin embargo, es difícil saber cuántos caminos posibles conducen a un resultado, dado que he enumerado todas las posibles combinaciones de resultados de los activos 1 y 2.

Answer 1

Según la hipótesis Black-Scholes para los 2 activos $S_1$ y $S_2$ con volatilidades $\sigma_{1,2}$ y la correlación $\rho$ el valor de esta opción tiene una expresión explícita que es el Fórmula Margrabe

Para citar explícitamente el resultado

Presentación de $\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1\sigma_2\rho}$ La fórmula de Margrabe establece que el precio justo de la opción en el momento 0 y al vencimiento $T$ es:

$$e^{-q_1 T}S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T}S_2(0) N(d_2)$$

donde $q_1,q_2$ son las tasas de dividendos esperadas de los precios $S_1,S_2$ bajo la medida neutral de riesgo apropiada, $N$ denota la función de distribución acumulativa para una distribución normal,

$$d_1 = (\ln (S_1(0)/S_2(0)) + (q_2 - q_1 + \sigma^2/2)T)/ \sigma\sqrt{T}$$ , $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$