La medida de probabilidad neutral al riesgo se define en términos de su numerario. Para la medida de probabilidad neutral al riesgo habitual, el numerario es la cuenta bancaria, $\beta(t)$ . Si tenemos un activo negociable $X(t)$ entonces $\tilde{X}(t)=\frac{X(t)}{\beta(t)}$ es una martingala bajo $\mathbb{Q}$ lo que significa que $$\tilde{X}(t)=\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}(\tilde{X}(T))$$ Así que podemos escribir $$\frac{X(t)}{\beta(t)}=\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left(\frac{X(T)}{\beta(T)}\right)$$ Para una tasa corta determinista podemos escribir $$X(t)=\frac{\beta(t)}{\beta(T)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left(X(T)\right)=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left(X(T)\right)$$
Consideremos ahora dos acciones con dinámica bajo $\mathbb{P}$ $$\frac{dS_{1}(t)}{S_{1}(t)}=\mu_{1}dt+\sigma_{1}dW_{1}^P(t)$$ $$\frac{dS_{2}(t)}{S_{2}(t)}=\mu_{2}dt+\sigma_{2}dW_{2}^P(t)$$ El Teorema de Girsanov nos dice cómo un $\mathbb{Q}$ El movimiento browniano está relacionado con un $\mathbb{P}$ Movimiento Browniano, a saber $$dW_i^P(t)=dW_{i}^Q(t)+\phi_i(t)dt, \quad i\in\{1,2\}$$ Lo que significa que la dinámica bajo $\mathbb{Q}$ se convierte en \begin{align*} \frac{dS_{i}(t)}{S_{i}(t)}&=\mu_{i}dt+\sigma_{i}\left(dW_{i}^Q(t)+\phi_{i}(t)dt\right)\\ &=\left(\mu_{i}+\phi_{i}(t)\sigma_{i}\right)dt+\sigma_{i}dW_{i}^Q(t) \end{align*} Para que el proceso de precio descontado sea un numerario bajo $\mathbb{Q}$ debemos tener 1 $$\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left(\frac{dS_{i}(t)}{S_{i}(t)}\right)=\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left(\frac{d\beta(t)}{\beta(t)}\right)$$ Lo que nos da la ecuación a resolver $$\left(\mu_{i}+\phi_{i}(t)\sigma_{i}\right)dt=rdt$$ $$\iff$$ $$\phi_{i}(t)=\frac{r-\mu_{i}}{\sigma_{i}}$$ Es evidente que el núcleo de Girsanov debe ser diferente para las dos poblaciones, por lo que la medida no se define en términos de la población, sino del numerario. Todos los activos negociados en la economía deflactados por la cuenta bancaria son una martingala. Obviamente, se necesita el teorema de Girsanov para cambiar la medida de un movimiento browniano, pero esto es específico del movimiento browniano en cuestión y no está relacionado con la medida en general.
Consideremos ahora un ZCB: $X(T)=1$ . Permitiendo ahora que la tasa corta sea estocástica. $$X(t)=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left(\frac{\beta(t)}{\beta(T)} \cdot 1\right)=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left(e^{-\int_t^Tr(s)ds}\right)$$ Así que podemos utilizar el mismo razonamiento que para las acciones para este activo. Para una tasa corta determinista no hay movimiento browniano involucrado en la expresión anterior, por lo que el teorema de Girsanov no se aplica aquí. Y para un tipo corto estocástico, en general no es útil definir la dinámica bajo $\mathbb{P}$ y luego utilizar el teorema de Girsanov para obtener la dinámica bajo $\mathbb{Q}$ . Esto se debe a que la tasa corta es una cantidad inobservable, por lo que la dinámica bajo la medida física $\mathbb{P}$ no tiene ninguna utilidad 2 . La dinámica bajo $\mathbb{Q}$ puede utilizarse para calibrar el modelo de tipos cortos con los precios de mercado observados en los ZCB.
Denotemos ahora el ZCB libre de riesgo por defecto: $P^{rf}(t,T)$ y denotemos un ZCB de riesgo de impago en la contraparte A: $P^{A}(t,T)$ . En caso de incumplimiento digamos que recuperamos sólo una parte, $Rec$ del valor de mercado en el momento del incumplimiento con una hipotética contraparte sin riesgo: $Rec \cdot P^{rf}(\tau,T)$ . Así, podemos escribir los flujos de caja del ZCB de riesgo de impago $$ \mathbb{1}_{\tau>T}+\mathbb{1}_{t<\tau<T}Rec \cdot P^{rf}(\tau,T) $$ donde $\mathbb{1}_{x}$ es el indicador que devuelve 1 si $x$ es verdadero y 0 en caso contrario. Denotamos el tiempo por defecto $\tau$ .
Considere un swap de incumplimiento crediticio (CDS) con un pago inicial a la contraparte A y un nocional unitario. En caso de impago se paga $(1-Rec)\cdot P^{rf}(\tau,T)$ - exactamente que no nos recuperamos. Consideremos una cartera de un CDS sobre A más $P^{A}(t,T)$ . En caso de que no se produzca el impago obtenemos \$1 en el momento T en caso de impago antes del vencimiento, $t<\tau<T$ obtenemos $$Rec \cdot P^{rf}(\tau,T)+(1-Rec)\cdot P^{rf}(\tau,T)=P^{rf}(\tau,T)$$ que entrega \$1 en el momento $T$ . El efectivo sólo cambia de manos a tiempo $t$ y $T$ y recibimos \$1 por cierto en el momento $T$ . Podemos escribir el valor de la cartera $$ CDS^{A}(t,T)+P^{A}(t,T)=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left(\frac{\beta(t)}{\beta(T)}\cdot 1\right)=P^{rf}(t,T) $$ La prima inicial sobre $CDS^{A}$ y el precio de un ZCB sobre A debe ser igual al de un ZCB sobre la contraparte libre de riesgo, de lo contrario constituiría una oportunidad de arbitraje. Si $CDS^{A}(t,T)+P^{A}(t,T)>P^{rf}(t,T)$ puede vender la cartera y comprar el bono sin riesgo por defecto, embolsarse la diferencia ahora y no tener ningún pasivo futuro.
Notas a pie de página:
- La forma correcta es hacer Itô en $S(t)/\beta(t)$ pero esto debería servir para la intuición
- Véase el capítulo 23: Modelos de tipos cortos en Thomas Björk "Arbitrage Theory in Continuous Time" (3ª edición) para una discusión al respecto.
