Resolución - Modelo de crecimiento de Ramsey con variables per cápita

Question

Digamos que tenemos la suma de la utilidad de un planificador social

$$\int_{0}^{\infty}U\left(C\right)e^{-\rho t}dt$$

donde $C$ es el consumo total. Si queremos escribirlo mediante una variable per cápita $c=\frac{C}{L}$ donde $L=e^{nt}$ es el número total de población que crece exógenamente a la tasa $n$ . Podemos reformular esto como

$$\int_{0}^{\infty}U\left(c\right)e^{nt}e^{-\rho t}dt$$

Hasta ahora, todo es sencillo. Sin embargo, si hemos empezado por una forma funcional especificada, como una utilidad CRRA

$$\int_{0}^{\infty}\frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma}e^{-\rho t}dt$$

No habríamos llegado al resultado anterior y deberíamos tener algún término exponente con $\sigma$ . ¿Cuál es la lógica que hay detrás? Hay algo que se me escapa.

Answer 1

La razón por la que el $e^{nt}$ El término está ahí porque se quiere multiplicar toda la utilidad por el número de personas. En realidad, no estás sustituyendo el consumo en la utilidad, sino multiplicando la utilidad de un individuo por el número de individuos. Así que el problema quedaría así:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma}e^{nt} e^{-\rho t}dt$$

Al menos así lo explican Barro y Sala-i-Martin en su libro de texto Economic Growth 2nd ed. pp 87 donde dicen [el énfasis es mío]:

La multiplicación de $u(c)$ en la ecuación ... por el tamaño de la familia, $L = e^{nt}$ representa la suma de utilidades para todos los miembros de la familia vivos en el momento $t$ .

Así que, tal y como yo lo entiendo, estás multiplicando todas las utilidades individuales por la población.

De hecho estoy bastante seguro de ello ya que en Romer Advanced Economics 4th ed en el capítulo 2 pp 54 hay un modelo de Ramsey donde la función objetivo se da como:

$$\int_{t=0}^{\infty} e^{-\rho t}\frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma} \frac{L(t)}{H} dt$$

que es, en esencia, exactamente el caso que se busca, donde la única diferencia es que Romer también añade el $H$ que es el número de hogares así que $L(t)/H$ sería la población por hogar. Romer también sustituye posteriormente $L(t)=L(0)e^{nt}$ que para $L(0)$ normalizado a 1 da casi la misma función (con ese extra $H$ pero para $H=1$ le daría exactamente el mismo resultado).