¿Cómo se calcula la exposición positiva esperada en el caso de un swap de tipos de interés? Supongamos que simulo $M$ trayectorias de los tipos de interés para la parrilla temporal $0=t_0\le t_1 \le ... \le t_N = T.$ ¿Cuál es el procedimiento ahora para calcular el valor de un swap para cada trayectoria y cada paso de tiempo utilizando el LSM de Longstaff-Schwarz? Sé que en el caso de la opción americana podemos ir hacia atrás pero no entiendo cómo hacerlo en el caso del swap IR. Es fácil calcular los flujos de caja en cada momento $t_1,...,t_N$ ¿pero qué sigue?
Respuestas
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La exposición positiva esperada
La exposición positiva esperada de un swap (o cualquier otro tipo de activo) en una fecha determinada $t_i$ es la expectativa de la parte positiva de su valor en esa fecha (ya que eso es lo que se pierde si la contraparte incumple, si el valor es negativo, no se pierde nada). Se calcula tomando la media de los $M$ caminos de su simulación de Monte Carlo: $$ EPE(t_i) = \mathbb{E}\left[ \max(V(t_i), 0) \right] \approx \frac{1}{M} \sum_{\omega=1}^M \max(V(t_i, \omega), 0) $$
Entonces, ahora la pregunta es ¿cómo obtener una cuadrícula de sus valores de intercambio en todas las rutas y fechas?
Valoración del swap en todas las fechas y trayectorias de Montecarlo
Hay dos posibilidades:
1. Fórmula de forma cerrada
Tienes una fórmula de forma cerrada que te da el precio del swap a partir de los tipos de interés, como es el caso. Por lo tanto, aquí el procedimiento es sencillo y ni siquiera necesitas LSM:
- en cada fecha $t_i$ simplemente se toma el $M$ escenarios de tipos de interés simulados en esa fecha e introduce cada uno de ellos en tu fórmula para obtener $M$ precios de intercambio;
- se toma la media de las partes positivas para obtener la exposición positiva esperada en esa fecha $t_i$ .
2. LSM
No tiene ninguna fórmula de forma cerrada para fijar el precio del canje. En este caso, hay que recordar que el valor del swap en cada nodo $(t_i, \omega)$ de su Monte Carlo es de hecho una expectativa condicional de sus flujos futuros descontados bajo la medida de riesgo neutral: $$ V(t_i, \omega)= \mathbb{E} \left[ \sum_{t > t_i} D(t_i, t)Flow(t) \mid (t_i, \omega) \right] $$
(por $\mathbb{E} \left[ \ast \mid (t_i, \omega) \right]$ Me refiero a la expectativa de $\ast$ condicionado al estado del mundo, en su caso los valores de los tipos de interés, siendo el de su fecha $t_i$ y el camino $\omega$ )
Obsérvese que los flujos que caen después de $t_{i+1}$ son realmente iguales al valor del swap en $t_{i+1}$ (todo descontado a $t_i$ ): $$ \sum_{t > t_{i+1}} D(t_i, t)Flow(t) = D(t_i, t_{i+1}) V(t_{i+1}) $$ Lo que lleva a esta expresión: $$ V(t_i, \omega)= \mathbb{E} \left[ \sum_{t_i < t \leq t_{i+1}} D(t_i, t)Flow(t) \mid (t_i, \omega) \right] + \mathbb{E} \left[ D(t_i, t_{i+1}) V(t_{i+1}) \mid (t_i, \omega) \right] $$
El primer término suele ser sencillo de calcular (cae en la sección anterior).
Para el segundo término, se puede ver la similitud con las opciones americanas, donde se necesita calcular el valor de continuación, que es una expectativa condicional y que se aproxima utilizando un LS.
En este caso, se puede aproximar este término utilizando una regresión de los valores descontados de su canje $Y = D(t_i, t_{i+1}) V(t_{i+1})$ sobre algún regresor $X$ en función de los valores de sus tipos de interés (por ejemplo, el precio de los bonos de cupón cero, la renta vitalicia, etc.).
Partiendo de $t_N$ y moviéndose hacia atrás, obtendrá sus valores de intercambio en todas las fechas y caminos.
Tyler Collier
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Aunque no estoy familiarizado con el LSM, la exposición de un swap debería ser la cantidad que puedes perder en cualquier momento por tu trayectoria de tipos de interés.
Si se trata de un swap básico de fijo por flotante, calcularía el valor como la diferencia de un bono fijo y uno flotante. Así, para el swap del receptor V(swap)= B(fijo) - B(fl)
Dado que se dispone de una senda de tipos de interés, se puede simplemente fijar el precio de los bonos en función de cada punto temporal y con respecto a la evolución futura de los tipos de interés.
Tal vez encuentres algo de inspiración aquí: https://www.mathworks.com/help/fininst/pricing-swing-options-using-the-longstaff-schwartz-method.html
