Interacción de covariables con el instrumento en la primera etapa

Question

Si quiero realizar una regresión de mínimos cuadrados de 2 etapas (2SLS) con:

Relación de interés: $Y = \alpha + \beta X + \varepsilon $ , donde $X$ es la variable explicativa endógena de interés.

Si tengo un instrumento $Z$ cuando puedo suponer con seguridad que es relevante y cumple la restricción de exclusión, ¿puedo interactuar con otras variables en la primera etapa, que no cumplen la restricción de exclusión, siempre que controle estas otras variables en la segunda etapa?

Así que estoy pensando

Estimación de la primera etapa: $X = \gamma + \delta_1 Z + \delta_2 W_1 + \delta_3 W_2 + \delta_4 Z*W_1 + \delta_5 Z* W_2 + \epsilon$ donde la restricción de exclusión sólo es válida para $Z$ pero no para el $W$ s, para obtener $\hat X$

Segunda etapa: $Y = \omega + \eta_1 \hat X + \eta_2 W_1 + \eta_3 W_2 + e $

Entonces, ¿este procedimiento me permite eludir la restricción de exclusión? Si es así, ¿hay algún documento/libro/artículo que hable de ello?

Answer 1

Respuesta corta: No.

Su modelo es $Y=\alpha + \beta X + \varepsilon$ . Incluso cuando $X$ es exógeno Si se retrocede $Y$ en $X$ , $W_1$ y $W_2$ entonces el estimador OLS es inconsistente (para $\beta$ ) a menos que $W_1$ y $W_2$ no afectan a $Y$ en promedio (después de controlar por $X$ ) o $X$ no está relacionado con $W_1$ y $W_2$ . Cuando $X$ es endógena no hay ninguna razón para que su estrategia funcione.

Supongamos ahora que su modelo es $Y=\alpha + \delta X + \gamma_1 W_1 + \gamma_2 W_2 + \varepsilon$ en su lugar. (Este no es su modelo; $\delta \ne \beta$ .) Usted dice $X$ , $W_1$ y $W_2$ son endógenos, mientras que $Z$ es exógena. Se necesitan instrumentos para $X$ , $W_1$ y $W_2$ pero no lo hace. Los parámetros no están identificados.