Ecuación de Black-Scholes con dividendo

Question

Considere una opción europea con pago $$g(S_T) = S_T^{-5}e^{10S_T}$$ Supongamos que el tipo de interés es $r = .1$ y el activo subyacente satisface $S_0 = 2, \sigma = .2$ y paga un dividendo a una tasa continua igual a $q(t,S_t) = qS_t$ y $q = .2$

a.) Escriba la ecuación de Black-Scholes para este problema.

b.) Resolver el problema analíticamente por el método de separación de variables. Introduce en la ecuación una solución candidata de la forma $e^{a\tau}S^{-5}e^{10S}$ y determinar $a$ .

La solución intentada para a.) El modelo Black-Scholes con dividendo viene dada por la SDE $$dS_t = S_t(r - q(t,S_t))dt + \sigma S_t dB_t$$ y la ecuación de Black-Scholes viene dada por $$\begin{cases} \partial_\tau V(\tau,S) &= \frac{\sigma^2 S^2}{2}\partial_{SS} V(\tau,S) + (r - q(t,S))S \partial_S V(\tau,S) - rV(\tau,S)\\ V(\tau,0) &= e^{-r\tau}g(0)\\ V(0,S) &= g(S) \end{cases}$$ por lo que con los parámetros anteriores tenemos $$\begin{cases} \partial_{\tau}V(\tau,S) &= \frac{(.2)^2(2)^2}{2}\partial_{S S}V(\tau,S) + (.1 - 2(.2))2V(\tau,S) - .1V(\tau,S)\\ V(\tau,0) &= e^{-.1\tau}g(0) = 0\\ V(0,S) &= g(2) = 2^{-5}e^{20} \end{cases}$$

Un poco confundido sobre b.). Cualquier sugerencia sería muy apreciada. Además, si alguien puede comprobar la parte a.) solución que sería genial.

Answer 1

Dejemos que $$\begin{align*} V(t, S_t) = E\Big(e^{-r(T-t)} g(S_T)\mid \mathcal{F}_t \Big) \end{align*}$$ sea el valor neutral de riesgo en el momento $t$ del pago de la opción $g(S_T)$ . Entonces $\{e^{-rt}V(t, S_t), 0 \le t \le T\}$ es una martingala. En consecuencia, $$\begin{align} -rV + \frac{\partial V}{\partial t} + (r-q)S\frac{\partial V}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2} = 0,\tag{1} \end{align}$$ que es la ecuación de Black-Scholes para la solución.

Para una solución de la forma $$\begin{align*} V(t, S_t) = e^{a(T-t)}S_t^{-5}e^{10S_t}. \end{align*}$$ Tenga en cuenta que $$\begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} &= -a V, \\ \frac{\partial V}{\partial S_t} &= \Big(-\frac{5}{S_t}+10\Big) V,\ \mbox{ and}\\ \frac{\partial V^2}{\partial S_t^2} &= \frac{5}{S_t^2}V + \Big(-\frac{5}{S_t}+10\Big)^2 V\\ &=\Big(\frac{30}{S_t^2} - \frac{100}{S_t} + 100\Big) V. \end{align*}$$ Sustituir en la ecuación (1) y evaluar en $t=0$ , $$\begin{align*} -r-a +(r-q)(-5+10S_0) + \frac{1}{2}\sigma^2 \big(30-100 S_0 + 100 S_0^2\big) = 0. \end{align*}$$ Es decir $$\begin{align*} a &= -r+(r-q)(-5+10S_0) + \frac{1}{2}\sigma^2 \big(30-100 S_0 + 100 S_0^2\big)\\ &= -0.1+ (0.1-0.2)\times (-5+10\times 2) + 0.5 \times 0.2^2 \times (30-100 \times 2 + 100 \times 4)\\ &=3. \end{align*}$$ Finalmente, el valor de la opción viene dado por $$\begin{align*} V(0, S_0) &= e^{a(T-0)}S_0^{-5}e^{10S_0}\\ &= \cdots \end{align*}$$ Por favor, rellene aquí. ¿Qué es? $T$ ?