Probabilidades neutrales al riesgo, modelo trinomial

Question

Mi profesor tiene muchas faltas gramaticales y errores en sus preguntas, así que disculpas por adelantado. Sólo estoy tratando de entender lo que quiere para esta pregunta,

En el modelo trinomial, dejemos que $S_0 = 1$ , $R = 0$ , $u = 2$ , $m = 1$ y $l = 1/2$

a.) Encuentre todas las probabilidades neutrales al riesgo y el rango de precios generado por ellas para una opción de compra con strike $K = 1$ .

b.) Encuentre el precio de superreplicación y el precio de subreplicación para esta opción de compra y compárelos con los precios mínimo y máximo de la parte (a).

Supongamos que la opción de compra es una opción de compra europea.

Intento de solución para a.): Tenemos dos condiciones $$\begin{cases} \pi_l\times1/2 + \pi_m\times1 + \pi_u\times2 = 1\\ \pi_l + \pi_m + \pi_u = \frac{1}{1+R} = 1 \end{cases}$$ Como tenemos 2 ecuaciones y 3 incógnitas tenemos un número infinito de probabilidades neutrales al riesgo. Por lo tanto, podemos establecer una como variable libre y luego resolver las otras dos. Así, supongamos $\pi_m = \pi_u$ entonces tenemos $$1/2\pi_l + 3\pi_u = 1 \ \text{and}$$ $$\pi_l + 2\pi_u = 1$$ multiplicando la primera ecuación por 2 y resolviendo obtenemos $\pi_u = 1/4$ , $\pi_l = 1/2$ y $\pi_m = 1/4$ . Por lo tanto, en el estado ascendente tenemos $C = \pi_u(u - K)^+ = 1/4$ y para el estado descendente tenemos $C = \pi_l(l-K)^+ = 0$ y por último para el estado medio tenemos $C = \pi_m(m - K)^+ = 0$ .

No estoy seguro de que esto sea correcto, cualquier sugerencia es muy apreciada.

Nota: No hay nada en los apuntes de mis profesores ni en el libro que mencione la subreplicación, así que yo lo ignoraría. La subreplicación de una demanda contingente consiste en encontrar el valor más pequeño de una cartera que tenga un pago igual o mayor que el pago de la demanda contingente.

Intento de solución para b.): No podemos replicar con precisión pero podemos encontrar una cartera que domine el pago. Como no hay nada en los apuntes ni en el libro que mencione la subreplicación me centraré en la super=replicación. Por lo tanto tenemos tres condiciones $$V_0 = aS_0 + b = \begin{cases} aS_u + b(1+R) \geq D_1\\ aS_m + b(1+R) \geq D_2\\ aS_l + b(1+R) \geq D_3 \end{cases}$$ Sabemos que $S_0 = 1$ , $R = 0$ , $u = 2$ , $m = 1$ y $l = 1/2$ Por lo tanto $$V_0 = a + b = \begin{cases} 2a + b \geq D_1 = (2 - K)_+ = (2 - 1)_+ = 1\\ a + b \geq D_2 = (1 - K)_+ = 0\\ \frac{1}{2}a + b \geq D_3 = (\frac{1}{2} - K )_+ = (\frac{1}{2} - 1)_+ = 0 \end{cases}$$

Creo que esto domina el pago de a.) por lo que hemos terminado... no estoy seguro... cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Los árboles trinomiales dan mercados incompletos, por lo que hay una gama de posibles precios neutrales al riesgo. Así que hay que encontrar las posibles probabilidades que hacen que el árbol sea neutral al riesgo y ver qué precios se obtienen.

Tiene las expresiones correctas. Ahora sólo tienes que parametrizar el conjunto de soluciones. Es unidimensional y todas las probabilidades son positivas por lo que necesitas encontrarlas todas.

Para la segunda parte, no se puede replicar con precisión, pero se puede encontrar una cartera que domine la rentabilidad. ¿Cuál es la cartera de este tipo más barata?

(véase mi libro Conceptos y práctica, etc., para una amplia discusión y soluciones trabajadas de ejemplos similares).

Answer 2

Para la pregunta a). A partir de los supuestos, en particular, que $R=0$ , \begin{align*} \pi_l + \pi_m + \pi_u &=1\\ \frac{1}{2}\pi_l + \pi_m + 2\pi_u&=1. \end{align*} Establecer $\pi_m=x$ y resolver para $\pi_l$ y $\pi_u$ , \begin{align*} \pi_l &= \frac{2}{3}(1-x)\\ \pi_m &= x\\ \pi_u &= \frac{1}{3}(1-x), \end{align*} donde $0<x<1$ . El precio de la opción viene dado entonces por \begin{align*} C &= \pi_l (l-K)^+ + \pi_m (m-K)^+ + \pi_u (u-K)^+\\ &=\frac{1}{3}(1-x), \end{align*} que está en el rango de $(0,\, 1/3)$ .

Para la pregunta b). Consideremos una cartera superreplicante con $a$ unidades comparten y $b$ unidades en efectivo. Entonces \begin{align*} a\, l + b &\ge (l-K)^+\\ a\, m + b &\ge (m-K)^+\\ a\, u + b &\ge (u-K)^+. \end{align*} Eso es, \begin{align*} a\, l + b &\ge 0\\ a\, m + b &\ge 0\\ a\, u + b &\ge 1. \end{align*} Desde $m > l$ podemos suponer que \begin{align*} a\, l + b &= 0\\ a\, u + b &= 1. \end{align*} Eso es, $a = 2/3$ y $b=-1/3$ . Esta es la cartera más pequeña que domina el pago de la opción, y tiene el valor \begin{align*} \pi_l(a\, l+b) + \pi_m(a\, m+b)+ \pi_u(a\, u+b) &=\frac{1}{3}. \end{align*}

Para la sub-replicación, encontramos la mayor cartera dominada por el pago de la opción. Es decir, \begin{align*} a\, l + b &\le (l-K)^+\\ a\, m + b &\le (m-K)^+\\ a\, u + b &\le (u-K)^+, \end{align*} o \begin{align*} a\, l + b &\le 0\\ a\, m + b &\le 0\\ a\, u + b &\le 1. \end{align*} Desde $l < m$ asumimos que \begin{align*} a\, m + b &= 0\\ a\, u + b &= 1. \end{align*} Entonces $a=1$ y $b=-1$ . Esta es la mayor cartera dominada por el pago de la opción, y tiene el valor \begin{align*} \pi_l(a\, l+b) + \pi_m(a\, m+b)+ \pi_u(a\, u+b) &=0. \end{align*}

Prueba de la propiedad dominante para la superreplicación.

Supongamos que existe otra cartera tal que \begin{align*} a'\, l + b' &\ge (l-K)^+=0\\ a'\, m + b' &\ge (m-K)^+=0\\ a'\, u + b' &\ge (u-K)^+=1. \end{align*} Entonces, por nuestra elección, \begin{align*} \frac{1}{2}a' + b' &\ge \frac{1}{2}a + b=0 \tag{1}\\ 2a' + b' &\ge 2a + b=1.\tag{2} \end{align*} Demostramos que \begin{align*} a'+b' \ge a+b = \frac{1}{3}.\tag{3} \end{align*} Suponiendo que $a'+b' < \frac{1}{3}.$ Entonces, a partir de (2), \begin{align*} \frac{2}{3} -b' > 2(a'+b')-b' \ge 1. \end{align*} Eso es, $b'<-1/3$ . En consecuencia, \begin{align*} \frac{1}{2}a' + b' &= \frac{1}{2}(a' + b') + \frac{1}{2} b' \\ &<0, \end{align*} lo cual es contradictorio con (1).