Dejemos que $\{Z_k\}_{k=1}^{N}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con la siguiente distribución $$Z_k = \begin{cases} \alpha &\text{with probability} \ \hat{\pi}\\ -\beta &\text{with probability} \ 1 - \hat{\pi} \end{cases}$$ Entonces tenemos $$\ln(S_T) = ln(S_0) + (r - \frac{\sigma^2}{2})T + \sigma\sqrt{T}\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N}Z_k$$ El único criterio de convergencia del modelo binomial al modelo Black-Scholes es que las variables aleatorias $Z_k$ , $k = 1,\ldots,N$ debe satisfacer $\hat{\mathbb{E}}[Z_1] = o(\delta)$ y $\hat{\mathbb{E}}[Z_1^2] = 1 + o(1)$ es decir $$\text{If} \ \hat{\mathbb{E}}[Z_1] = o(\delta), \ \text{and} \ \hat{\mathbb{E}}[Z_1^2] = 1+o(1), \ \text{then}$$ $$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N}Z_k \ \text{converges to} \ \mathcal{N}(0,1) \ \text{weakly}$$
Probabilidad simétrica: $$u = \exp(\delta(r - \frac{\sigma^2}{2}) + \sqrt{\delta}\sigma), l = \exp(\delta(r - \frac{\sigma^2}{2}) - \sqrt{\delta}\sigma) , \ \text{and} \ \ R = r\delta$$ Entonces; $$\hat{\pi}_u = \hat{\pi}_l = \frac{1}{2}$$
Rendimiento subjetivo: $$u = \exp(\delta\nu + \sqrt{\delta}\sigma), l = \exp(\delta\nu - \sqrt{\delta}\sigma), \ \text{and} \ \ R = r\delta$$ Entonces; $$\hat{\pi}_u = \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{\delta}\frac{r - \nu - \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right) \ \ \text{and} \ \ \hat{\pi}_l = \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\delta}\frac{r - \nu - \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)$$
Mostrar $$\hat{\mathbb{E}}[Z_1] = o(\delta), \ \ \text{and} \ \ \hat{\mathbb{E}}[Z_1^2] = 1 + o(1)$$ en los siguientes casos.
a.) probabilidad simétrica
b.) el rendimiento subjetivo
Solución intentada a.) $$E[Z_1] = 1\times \frac{1}{2} - 1\times\frac{1}{2} = 0$$ y $$E[Z_1^2] = 1^2\times\frac{1}{2} + (-1)^2\frac{1}{2} = 1$$
