¿Cómo se calcula el precio y el riesgo de un tramo senior?

Question

Digamos que concedo dos préstamos de riesgo a X años P(default)=0,1 de 1000 USD. Para simplificar supongamos que el tipo de interés es 0.

Quiero vender un tramo Senior de 1000 USD a X años y un tramo Junior de 1000 USD respaldado por estos dos préstamos.

¿Cómo puedo calcular el precio de estos tramos? Este ejercicio parece trivial si la P(default) de los dos préstamos está completamente descorrelacionada o perfectamente correlacionada. Pero ¿cómo lo hago si 0< correlación < 1?

Answer 1

Dejemos que $D_1 = 1$ sea el caso de que el primer préstamo incumpla y que $D_2 = 1$ sea el caso de que el segundo préstamo incumpla. Supongamos que conocemos la correlación $\rho$ entre $D_1$ y $D_2$ y conocemos los marginales $p_1$ y $p_2$ .

El objetivo es calcular la probabilidad de que uno de los dos préstamos incumpla (para el tramo junior) y la probabilidad de que ambos incumplan (tramo senior).

Primero, fíjate en eso: $$ \begin{align*} &\mathbb{E}[D_1] = \Pr(D_1) = p_1\\ &\mathbb{E}[D_2] = \Pr(D_2) = p_2. \end{align*} $$ En primer lugar, tratemos de calcular la probabilidad de que ambos préstamos incumplan. $$ p_{12} = \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 1) $$ La covarianza entre $D_1$ y $D_2$ está dada por: $$ cov(D_1, D_2) = \mathbb{E}\left[(D_1 - p_1)(D_2 - p_2)\right] = p_{12} - p_1 p_2 $$ A continuación, la varianza de $D_1$ y $D_2$ igual: $$ \begin{align*} var(D_1) &= \mathbb{E}\left[(D_1 - p_1)^2\right] = p_1 - (p_1)^2 = p_1(1-p_1),\\ var(D_2) &= p_2(1- p_2). \end{align*} $$ Así que la correlación viene dada por: $$ corr(D_1, D_2) = \rho = \frac{cov(D_1, D_2)}{var(D_1)} = \frac{p_{12} - p_1 p_2}{\sqrt{p_1(1-p_1)} \sqrt{p_2(1-p_2)}} $$ Así, la probabilidad de que ambos incumplan viene dada por: $$ p_{12} = \rho \sqrt{p_1(1-p_1)} \sqrt{p_2(1-p_2)} + p_1 p_2. $$ Entonces también: $$ \begin{align*} \Pr(D_1= 1 \text{ and } D_2 = 0) &= \Pr(D_1 = 1)- \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 1),\\ &= p_1 - \rho \sqrt{p_1 p_2(1-p_1)(1-p_2)} - p_1 p_2\\ \Pr(D_2 = 1 \text{ and } D_2 = 0) &= p_2 - \rho \sqrt{p_1 p_2(1-p_1)(1-p_2)} - p_1 p_2 \end{align*} $$ Entonces la probabilidad de que al menos uno incumpla viene dada por: $$ \begin{align*} \Pr(D_1 = 1 \text{ or } D_2 = 1) &= \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 0) + \Pr(D_1 = 0 \text{ and } D_2 = 1) + \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 1),\\ &= p_1 + p_2 - \rho\sqrt{p_1 p_2(1-p_1) (1-p_2)} - p_1 p_2,\\ \end{align*} $$