Si $x \succsim_i x_i^*$ entonces $p \cdot x_i\ge w_i.$ (MWG 16.C.2)

Question

(MWG 16.C.2) Supongamos que la relación de preferencia $\succsim_i$ es localmente no saturado y que $x_i^*$ es máxima para $\succsim_i$ en conjunto $\{x_i \in X_i: p \cdot x_i \le w_i\}$ . Demuestra que la siguiente propiedad se cumple: "Si $x \succsim_i x_i^*$ entonces $p \cdot x_i\ge w_i.$ "

La no-causalidad local significa que para cada $x_i \in X_i$ y $\epsilon >0$ existe $x_i' \in X_i$ tal que $||x_i - x_i'|| < \epsilon$ y $x_i' \succ x_i$ . Creo que tengo que demostrar que si $x_i \sim_i x^*_i $ para $x_i \not= x_i^*$ entonces es posible que $p\cdot x_i = w_i$ porque ya sé que si $x_i \succ x_i^*$ entonces $p\cdot x_i > w_i$ .

Estoy atascado y no puedo continuar. ¿Puede alguien darme alguna pista para esta pregunta?

Answer 1

Pista: Demostrar por contradicción. Es decir, suponga $x_i\succsim_ix_i^*$ pero $p\cdot x_i<w_i$ , demuestran que esto llevaría a una contradicción de $x_i^*$ siendo máxima para el conjunto factible.