Análisis de opciones

Question

Supongamos que el dividendo es cero y que el precio de ejercicio de una opción de compra europea sobre una acción con un vencimiento fijo T y el precio de ejercicio K viene dada por C(K) Supongamos que $C(K)=e^{-k}$ para todos $K\geq 0$ Entonces, quiero averiguar lo siguiente

1.¿Cuál debe ser el valor actual de las existencias?

2.¿Cuál es la probabilidad neutral al riesgo de que el precio de la acción se encuentre en el intervalo [5,10] al vencimiento

3.¿Cuál es el valor actual del contrato que paga $X^2$ al vencimiento si el precio de las acciones al vencimiento es X

Solución: No sé la respuesta a esta pregunta. Conozco la fórmula de Black-Scholes, la valoración de opciones binomial, el VaR, la optimización de la cartera de varianza media y el modelo de Black-Litterman.

Answer 1

(1) . Consideramos una opción de compra con strike $K=0$ . Entonces $S_0=C(0)=1$ .

(2) . Suponemos un tipo de interés cero. Entonces, para cualquier $K\ge 0$ , \begin{align*} 1_{S_T \ge K} &=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{(S_T-K)^+ - (S_T-K-\varepsilon)^+}{\varepsilon}. \end{align*} Eso es, \begin{align*} P(S_T \ge K) &= -\frac{\partial C(K)}{\partial K}\\ &= e^{-K}. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} P(5 \le S_T < 10) &= P(S_T \ge 5) - P(S_T \ge 10)\\ &= e^{-5}-e^{-10}. \end{align*}

(3) . Tenga en cuenta que \begin{align*} S_T^2 = 2\int_0^{\infty}(S_T-K)^+ dK. \end{align*} Entonces \begin{align*} e^{-rT} E\big(S_T^2\big) &= 2\int_0^{\infty}e^{-rT}E\big((S_T-K)^+\big) dK\\ &=2\int_0^{\infty} C(K) dK\\ &=2\int_0^{\infty} e^{-K} dK\\ &=2. \end{align*}