Se necesita una prueba rigurosa: Acemoglu (Intro Growth) Corolario $2.1.2$

Question

Estoy leyendo la introducción de Acemoglu al crecimiento económico moderno. Pero tengo problemas para entender su demostración de un teorema relacionado con la estabilidad. Aquí está el teorema:

Y aquí hay algunas definiciones y teoremas relacionados:

Mi pregunta radica en su prueba del corolario $2.1$ . ¿Cómo demostró que la secuencia $x(t)$ es monótona y está limitada por encima por $x^*$ ? Creo que no es suficiente con que la derivada sea menor que $1$ y la distancia a $x^*$ se está reduciendo a decir $x(t)$ es monótona. ¿Puede alguien darme más detalles para entender la prueba?

Gracias.

Answer 1

El OP identificó correctamente un error aquí. Ya que el autor afirma la monotonicidad para una función general, vamos a refutarla para el caso lineal simple. Consideremos

$$x_{t+1} = g(x_t) = -0.5x_t$$

Esto satisface todos los requisitos y condiciones expuestos por el autor, y también que la derivada sea menor que la unidad en valores absolutos $\forall x$ . Pero converge con "oscilaciones amortiguadas", por lo que no es monótona ya que, por ejemplo,

$$x_0 = -3 < 0 = x^*$$ $$x_1 = 1.5$$ $$x_2 = -0.75$$ etc.

Answer 2

Ya que el OP pedía una prueba rigurosa, aquí va una.

Por la desigualdad de Acemoglu en la primera parte de su prueba, podemos separar $\{x(t)\}_{t=0}^{\infty}$ en dos subsecuencias, una subsecuencia creciente $\{x(t_{i})\}_{t_{i}\in I}$ acotado anteriormente por $x^{*}$ y una subsecuencia decreciente $\{x(t_{j})\}_{t_{j} \notin I}$ limitado por debajo por $x^{*}$ . De hecho, definimos $I$ el conjunto $\{t \in \mathbb{N} \mid x(t)<x^{*}\}$ . Por la desigualdad de Acemoglu, $s>t$ implica $x(s)$ está estrictamente más cerca de $x^{*}$ que $x(t)$ es. Así, puesto que $x(t_{i})<x^{*}$ para todos $t_{i} \in I$ , $\{x(t_{i})\}_{t_{i}\in I}$ está aumentando. Igualmente, $\{x(t_{j})\}_{t_{j} \notin I}$ es decreciente y está limitada por debajo por $x^{*}$

Supongamos que cada una de estas subsecuencias es infinita. Entonces cada una converge a un límite, que denotaremos por $y$ y $z$ respectivamente.

Obsérvese que también se deduce de la desigualdad de Acemoglu que $y=x^{*}-\epsilon$ y $z=x^{*}+\epsilon$ para algunos $\epsilon \geq 0$ . De hecho, supongamos que no es así (demostraremos que esto genera una contradicción). Por comodidad, supongamos $\vert y -x^{*}\vert<\vert z-x^{*}\vert$ . Defina $$\delta:=\vert z-x^{*}\vert-\vert y-x^{*}\vert>0.$$ Desde $\lim_{i \to \infty}x(t_{i})=y$ podemos elegir $t \in \mathbb{N}$ tal que $$\vert x(t)-y\vert<\frac{\delta}{2}.$$ La desigualdad triangular nos dice entonces que $$\vert x(t)-x^{*}\vert <\vert y-x^{*}\vert+\frac{\delta}{2}.$$ Ahora escoge algunos $s \in \mathbb{N}$ tal que $s >t$ y $x(s)>x^{*}$ (como $s$ existe por nuestra suposición de que ambas subsecuencias construidas son infinitas). Dado que $x(s)>z>x^{*}$ tenemos que $$\vert x(s)-x^{*}\vert>\vert z-x^{*}\vert.$$ Así, $$\vert x(t)-x^{*}\vert <\vert y-x^{*}\vert+\frac{\delta}{2}<\vert z-x^{*}\vert <\vert x(s)-x^{*}\vert.$$ Pero como $s>t$ Esto contradice la desigualdad de Acemoglu.

Ahora consideraremos el valor de $g(y)$ . Desde, $$g(y)=g(\lim_{i \to \infty}x(t_{i}))=\lim_{i \to \infty}g(x(t_{i}))=\lim_{i \to \infty}x(t_{i}+1),$$ debemos tener eso $g(y)=y$ o $g(y)=z$ .

Si $g(y)=z$ entonces debemos tener que $y=z=x^{*}$ ya que si $y\neq x^{*}$ obtenemos una contradicción. En efecto, si $y \neq x^{*}$ entonces la desigualdad de Acemoglu implica que $g(y)$ está estrictamente más cerca de $x^{*}$ que $y$ pero $y$ y $z$ son equidistantes de $x^{*}$ . Así $g(y)=y$ y de forma similar $g(z)=z$ . (Si sólo una de las sucesiones es infinita, obtenemos esto inmediatamente.) Pero esto implica que $y=z=x^{*}$ ya que la desigualdad de Acemoglu permite deducir que si $y \neq x^{*}$ entonces $g(y)$ está estrictamente más cerca de $x^{*}$ que $y$ es.