¿Cómo se puede modelar el problema de comer pasteles con la depreciación? (Es decir, el pastel se estropea con el tiempo)
El problema que tengo es el siguiente.
Definamos un problema de comer pasteles secuencialmente como:
$$\max_{c_t} \ U(c_t)=\sum_{t=0}^\infty\beta^t\ln(c_t) $$
Sujeto a:
1. $ \ \ f(k_t)=c_t+x_t$ (limitación de recursos $c_t$ es el consumo, $x_t$ es la inversión).
2. $ \ \ f(k_t)=k_t$ (Las mercancías se definen en función del tamaño del pastel/capital en el momento $t$ como se indica en $k_t$ ).
3. $k_{t+1}=(1-\delta)k_t+x_t$ (ley del movimiento).
4. $k_0>0$ (Capital social inicial).
cuando se trata del caso en el que $\delta=1$ el problema es bastante sencillo de resolver recursivamente con la ecuación de bellman de: $$v(k_t)=\max_{k_{t+1}} \left\{\ln(k_t-k_{t+1})+\beta v(k_{t+1}) \right\}$$
Sin embargo, si tuviéramos que considerar el caso de que "el pastel se estropee" con el tiempo (lo que significa que hay un coste de ahorro) parece que sería necesario modificar el marco estándar.
Esto se debe a que si permitimos $\delta\neq0$ terminamos con un resultado de "re-alimentación" del pastel previamente consumido. ¿Cómo podemos abordar este problema?
