¿Afectará la exclusión del intercepto a los coeficientes de otras variables?

Question

¿Existe alguna explicación para el hecho de que la ejecución sin intercepción haya provocado el cambio de los coeficientes de otras variables?

Me refiero a una regresión de datos de panel.

xtreg y x

y

xtreg y x, nocons

Answer 1

La ejecución de una regresión (OLS) con o sin intercepción no cambiará los otros coeficientes de las otras covariables si las medias de (todas) estas covariables son cero.

Para simplificar, consideremos el caso de una covariable. Tenemos dos regresiones, la primera con y la segunda sin intercepción. $$ \begin{align*} &y_i = \alpha + \beta x_{i} + \varepsilon_i, \tag{1}\\ &y_i = \gamma x_i + \delta_i \tag{2} \end{align*} $$ Para la primera regresión, estimará los coeficientes estableciendo las siguientes condiciones de momento muestral: $$ \begin{align*} &\frac{1}{n} \sum_i \varepsilon_i = 0,\\ &\frac{1}{n} \sum_i \varepsilon_i x_i = 0 \end{align*} $$ Así que: $$ \begin{align*} &\frac{1}{n} \sum_i y_i = \hat \alpha + \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right),\\ &\frac{1}{n} \sum_i y_ix_i = \hat \alpha \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right) + \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right) \end{align*} $$ Entonces: $$ \begin{align*} &\hat \alpha = \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i\right) - \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right),\\ &\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i = \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i\right) \left( \frac{1}{n} \sum_i x_i\right) - \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right)^2 + \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right), \end{align*} $$ Así que usando $\widehat{cov}(y_i, x_i) = \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i\right) - \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i\right) \left( \frac{1}{n} \sum_i x_i\right)$ y $\widehat{var}(x_i) = \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right) - \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right)^2$ : $$ \hat \beta = \frac{\widehat{cov}(y_i, x_i)}{\widehat{var}(x_i)}. \tag{3} $$ Para la regresión $(2)$ sin intercepción, sólo tenemos la condición del segundo momento: $$ \begin{align*} &\frac{1}{n} \sum_i \delta_i x_i = 0,\\ \to &\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i = \hat \gamma \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right) \end{align*} $$ Así que: $$ \hat \gamma = \frac{\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i}{\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2} \tag{4} $$ Comparación de $(3)$ y $(4)$ vemos que son iguales si la media de $x$ es cero: $\frac{1}{n} \sum_i x_i = 0$ .

La figura siguiente lo demuestra. Tenemos 5 puntos de datos con $\frac{1}{n} \sum_i x_i = 0$ . Vemos que las dos líneas de regresión, la negra con intercepción y la roja sin intercepción tienen la misma pendiente.

Answer 2

Aunque la respuesta anterior era muy instructiva, la respuesta correcta para Stata es que xtreg y x, nocons dará lugar a un error r(198) option noconstant not allowed . No sé por qué los programadores de Stata no permitieron la opción noconstante para el modelo de efectos aleatorios, pero esa es otra cuestión.