Entender el modelo ZABR (una extensión de SABR)

Question

http://janroman.dhis.org/finance/SABR/ZABR%20Andreasen.pdf

En este artículo se presenta primero el modelo SABR en otra forma (véase la ecuación 7 del artículo) y luego se extiende al llamado modelo ZABR. Tengo un par de preguntas que me ayudan a entender el modelo.

• Pregunta principal: ¿Cuál es la fórmula exacta que genera los gráficos de la figura 3? $IV(k)=...?$
• en la figura 1 y 2. ¿Por qué diablos es $\sigma(s)=c_0s^{c_1}$ ?
• ¿Qué es? $x$ en la ecuación 7? Me refiero a la interpretación financiera. No tendrá sentido llamarlo la volatilidad implícita pero no estoy seguro.

Aquí hay una implementación de Matlab que encontré: https://se.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/50328-zabr-stochastic-volatility-smile-modelling

Answer 1

He encontrado la respuesta a mi propia pregunta durante el último mes en el que la pregunta ha quedado sin respuesta

• La cuestión principal: Mira la página 9 de "la EDO se puede reajustar a $f'(y)=....=F(y,f)$ " . Para un determinado $\alpha, \beta, rho, \epsilon$ y $\gamma $ tenemos toda la información relevante para resolver esta EDO, por lo que encontrar $f(y(t))$ que se denota como $f(y)$ en el papel. Entonces podemos calcular la volatilidad normal implícita (Bachelier) mediante $$x = z^{1-\gamma}f(y) \text{ (defined at page 8)} $$ $$IV_{bacheier}(K) = \frac{spot-K}{x}$$

• El proceso de activos en SABR y ZABR es $ds(t)=vol*\sigma(s) dW(t)$ donde $\sigma(s)=\alpha s^\beta$ . Estas dos constantes son simplemente los dos parámetros (cómo se me ha podido pasar eso ..... :D )

• No tengo una buena respuesta a la última, pero $x$ se explica en la segunda sección Expansión de la madurez a corto plazo