Cómo razonar sobre el apalancamiento en términos de elasticidad

Question

El rendimiento de una inversión durante un periodo determinado es, por definición, el siguiente $$r = \frac{P}{W_0} - 1$$ donde $P$ es el precio de la inversión al final del periodo, y $W_0$ es la inversión inicial. Quiero entender cuánto cambia la rentabilidad en términos de porcentaje, con respecto a la del precio. Esta es, naturalmente, la definición de elasticidad.

La elasticidad se puede calcular como $$\epsilon = \frac{\partial{r}}{\partial{P}} \cdot \frac{P}{r} = \frac{P}{P-W_0}$$

Ahora bien, si tenemos un apalancamiento de 2x, deberíamos tener una elasticidad de 2. Sin embargo, parece que no soy capaz de conectar estos dos conceptos. Si $W_0$ se normaliza a 1, entonces la fórmula se convierte en $$\epsilon = \frac{P}{P-1}$$

Cuando $\epsilon = 2$ esto implica que P = 2. Sin embargo, esto dice que sólo cuando $P$ es el doble de la inversión inicial $W_0$ que el apalancamiento es 2. Cuando el precio es más alto, el apalancamiento disminuye .

¿Dónde me equivoqué con la lógica?

Answer 1

Sus cálculos son correctos. Si normalizamos $W_{0}=1$ tenemos un retorno de $$ r\left(P\right) = P-1 $$ y una elasticidad-precio del rendimiento de $$ \epsilon\left(P\right) = \frac{P}{P-1} \mathrm{.} $$ Si su precio $P$ pasa de su valor inicial $W_{0}=1$ a $P=2$ , se hace una devolución de $r\left(2\right) = 1$ . Si su inversión tiene un precio final de $P=3$ su retorno sería $r\left(3\right) = 2$ . Así que cuando se pasa de un precio de $P=2$ a un precio de $P=3$ su retorno va de $r\left(2\right) = 1$ a $r\left(3\right) = 2$ . Por un precio de $P=4$ su regreso sería $r\left(4\right) = 3$ . Así que si pasas de un precio $P=3$ a un precio de $P=4$ (nótese que el precio vuelve a subir $1$ unidad), su rendimiento sólo aumenta de $r\left(3\right) = 2$ a $r\left(4\right) = 3$ . La primera vez su rendimiento se duplicó, la segunda vez sólo hizo $50\%$ más retorno.

Eso es lo que dice la ecuación. Se mira en relación a la local cambio de rendimiento debido a las variaciones de los precios (el derivado). Esto es siempre constante. Pero supone una gran diferencia para su ganancia de rendimiento si su precio pasa de $1$ a $2$ o si va, por ejemplo, de $101$ a $101$ .