¿Cómo determinar la prima de riesgo a partir del modelo de un factor de Vasicek?

Question

La tasa corta bajo el modelo de un factor de Vasicek bajo la medida del mundo real $\mathbb{P} $ sigue : $$ dr(t)=(a\theta - (a+\lambda \sigma)r(t))dt + \sigma dW(t),$$ $$ r(0)=r_0 $$

donde $ \lambda $ es el precio de mercado del riesgo, es decir, la prima de riesgo

Ahora, bajo el modelo Vasicek, $\lambda$ se suele elegir para que sea constante, es decir. $ \lambda(t)=\lambda$

Pero, ¿y si no fuera así y, en cambio, la prima de riesgo dependiera del tiempo? $ \lambda(t) $ ? En ese caso:

1. ¿Cuál sería mi punto de partida matemático si quisiera determinar el valor de $ \lambda(t) $ ?
2. ¿La fórmula tradicional de $ \lambda = (\mu - r_f)/\sigma $ ¿funciona en este caso?

¿Es éste un punto válido en el que pensar? Disculpas si esto no tiene sentido y gracias de antemano.

Answer 1

Le recomiendo dos documentos que deberían ayudarle con este ejercicio.

La primera es " Filtrado de Kalman de los modelos de estructura temporal de Vasicek generalizados ." Este trabajo proporciona un marco general para calibrar los modelos de estructura temporal utilizando la técnica de filtrado de Kalman. El método es capaz de desentrañar los parámetros bajo las medidas de riesgo neutral y físico, con la diferencia atribuida a la prima de riesgo. El trabajo se refiere a los modelos Vasicek generalizados, a los que pertenece el modelo Vasicek de un solo factor.

Cuando se aplica la metodología del documento anterior, generalmente se encuentra que las estimaciones de la prima de riesgo pueden ser muy inestables y potencialmente absurdas. Un segundo documento, Estimación de la estructura temporal con datos de encuestas sobre previsiones de tipos de interés (y un periódico hermano, Un modelo de estructura temporal de tres factores libre de arbitraje y el comportamiento reciente de los rendimientos a largo plazo y los tipos a plazo de horizonte lejano ), ofrece una sencilla extensión que permite incorporar al proceso de estimación las previsiones de tipos de interés basadas en encuestas (es decir, las expectativas de tipos observadas), lo que permite precisar los parámetros de la medida física con mayor confianza.

Answer 2

Con sólo una tasa corta $r_t$ (no es un activo negociable) dado, tenemos un contexto en el que hay ningún activo de riesgo pero hay al menos un impulsor del movimiento browniano (modelo de mercado incompleto). El sólo El activo negociado es la cuenta bancaria dada por:

$$ d\beta_t = r_t \beta_t dt, \; \beta_0 = 1, $$

que es un activo sin riesgo local. Los bonos de cupón cero se considerarían derivados de tipos de interés con $r$ como subyacente. La existencia de una medida martingala equivalente está asegurada por el hecho de que

$$ e^{-\int_0^t r_u du} \beta_t =1, $$

así que cualquier medir $Q$ equivalente a $P$ es una medida martingala equivalente en este contexto.

Además, la condición de deriva para activos de riesgo (relación entre sus $\mu$ , $\sigma$ y $r$ , $\lambda$ ) se cumple automáticamente al no existir ningún activo de riesgo. Así, cualquier proceso cuya martingala exponencial local es $P$ -martingale puede ser elegido como precio de mercado del riesgo . Véase, por ejemplo, Especificaciones del precio de mercado del riesgo para modelos afines: Teoría y evidencia para tales especificaciones en la clase de modelos afines (Vasicek como caso especial).

Esto sugiere que se puede, en la práctica, especificar la deriva de $r$ SDE (función lineal de $r$ en el caso Vasicek) y el precio de mercado del riesgo directamente bajo un $Q$ medida (coeficiente de difusión de $r$ La SDE se mantiene sin cambios bajo el cambio de medida de Girsanov). Eligiendo $Q$ equivale entonces a elegir la deriva de $r$ SDE (a través de la calibración, por ejemplo, de la estructura de plazos de los bonos de cupón cero negociados y de otros derivados de tipos de interés, según lo seleccionado $Q$ ya es neutral en cuanto al riesgo).