Actualmente estoy tratando de resolver el siguiente problema:
Stackelberg con 3 empresas Imagínese que hay tres empresas en una empresa monopolísticamente competitiva competitivo. El coste marginal de producción de cada empresa es c. La demanda es $p(q) = A Bq$ . El líder toma una decisión de producción $q_1$ , entonces dos seguidores toman una decisión simultánea sobre sus niveles de producción $q_2$ y $q_3$ . Calcule la cantidad producida por las empresas en esta economía, y compárela con el resultado de Cournot con 3 empresas y con el resultado de resultado de Stackelberg con 2 empresas.
Mis trabajos
He intentado resolver el problema con el siguiente método:
Líder ( $q_1$ )
$$\begin{align} profit(q_1,q_2,q_3) &= (A - B(q_1+q_2+q_3))q_1 -cq_1 -F \\ & = Aq_1 - B(q_1+q_2+q_3)q_1 -cq_1 -F\\ & = Aq_1 - Bq_1^2 - Bq_2q_1 - Bq_3q_1 - cq_1 -F\end{align}$$
El tomé el derivado en cuanto a $q_1$ dejándome con esto: $$profit(q_1,q_2,q_3)= A - 2Bq_1 - Bq_2 -Bq_3 -c$$
Finalmente he intentado encontrar $q_1$ :
$$q_1 = \frac{A-C-Bq_2-Bq_3}{2B}$$ Para poner $q_1$ en la ecuación y resolverla para $q_2$ y luego $q_3$
El problema:
El comienzo de la solución en la hoja de respuestas tiene este aspecto:
Solución Para Stackelberg con dos seguidores, después de que la empresa 1 haya hecho su movimiento, los agentes 2 y 3 hacen su movimiento simultáneamente conociendo q1. Por lo tanto, las empresas 2 y 3 maximizan
$$profit(q_i) = (AB(q_1 +q_2 +q_3)C)q_i q_2 = q_3 = \frac{A C}{3B} \frac{q_1}{3}$$
Pregunta: como puedes ver mis trabajos no se acercan a la respuesta, he tratado de resolver el problema usando el método de allí pero no entiendo realmente donde estaba el $3$ en $3B$ y por qué utilizamos $q_i$ ? (tampoco entiendo muy bien por qué el método que he utilizado es incorrecto)
Muchas gracias por su ayuda.
