¿Cómo se encuentran los puntos óptimos de pareto en una economía de intercambio simple de 2 bienes?

Question

Supongamos que hay 2 individuos en una economía de intercambio simple con utilidades $U_{1}= ax_{1} + x_{2}$ y $U_{2}= y_{1}y_{2}$ .

Las dotaciones son $(x_{1},x_{2})=(4,0)$ y $(y_{1},y_{2})=(1,5)$ .

Se nos piden los valores de $a$ de tal manera que la asignación anterior es óptima de pareto.

La respuesta dada es $MRS_{A} \ge MRS_{B}$ implica el óptimo de pareto.

¿Cómo hemos llegado hasta aquí?

URL de referencia: http://www.econschool.in/stuff-of-interest/anotherpost/dse-2013-q34

URL para el problema real: http://www.econschool.in/stuff-of-interest/anotherpost/dse-2013-q34

Answer 1

La siguiente trama tiene la respuesta a tu pregunta, obsérvala con atención:

Answer 2

Se puede encontrar una solución óptima parateo fijando

$$MRS_1=MRS_2$$

y luego resolver para $a$

Sabemos que $MRS_1=$ $MU_{x_1}\over{MU_{x_2}}$ $=$ $\partial U_1 \over{\partial x_1}$$ |div $ $ \N-parcial U_1\\N-sobre-parcial x_2 $ $ = $ $ a\Nmás de 1 $ $ =a$

y de manera similar $MRS_2=$ $MU_{y_1} \over{MU_{y_2}}$ $=$ $y_2\over{y_1}$

Ahora introduzca los valores de la dotación, respectivamente, lo que da como resultado

$$a= {5\over{1}} \Longrightarrow a=5$$

$\therefore$ la asignación anterior es óptima de pareto cuando $a=5$