Propongamos el modelo bivariante Black-Sholes. Supongamos que tenemos un mercado completo libre de arbitraje.
$r_{f}$ es la tasa libre de riesgo.
En la medida del mundo real $P$ :
$dS_{1} (t)=S_{1} (t) [\mu_{1}dt+\sigma_{1}dW_{1,t}^{P}]$
$dS_{2} (t)=S_{2} (t) [\mu_{2}dt+\sigma_{2}dW_{2,t}^{P}]$
$corr(W_{1,t},W_{2,t})=\rho$
donde $W_{i,t}^{P}$ es un movimiento browniano estándar bajo $P$ . He comprobado que en este modelo se mantiene: $\mu_{2}-r_{f}=\sigma_{2}(\rho+\sqrt{1-\rho^{2}})\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}$
Pero no estoy seguro, si la deirvación es correcta.
¿Se mantiene?
La derivación se presenta aquí:
Del hecho de la correlación entre dos movimientos brownianos, se desprende: $W_{2,t}^{P}=\rho W_{1,t}^{P}+\sqrt{1-\rho^{2}}W_{0,t}^{P}$
donde $W_{0,t}^{P}$ es un movimiento browniano estándar bajo $P$ independientemente de $W_{1,t}^{P}$ .
Por lo tanto, se puede reescribir:
$dS_{1} (t)=S_{1} (t) [\mu_{1}dt+\sigma_{1}dW_{1,t}^{P}]$
$dS_{2} (t)=S_{2} (t) [\mu_{2}dt+\sigma_{2}\rho dW_{1,t}^{P}+\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}W_{0,t}^{P}]$
Proponemos la nueva medida $Q$ , definida por: $\frac{dQ}{dP}=exp\{\frac{r_{f}-\mu_{1}}{\sigma_{1}}W_{1,t}-\frac{1}{2}(\frac{r_{f}-\mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2}t\}$
Con esta medida
$W_{1,t}^{Q}=W_{1,t}^{P}+\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}$
$W_{0,t}^{Q}=W_{0,t}^{P}+\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}$
son movimientos brownianos estándar bajo $Q$ .
Definamos $W_{2,t}^{Q}=\rho W_{1,t}^{Q}+\sqrt{1-\rho^{2}}W_{0,t}^{Q}$ , que también es el movimiento estándar de Browniam bajo $Q$ correlacionado con $W_{1,t}^{Q}$ con el coeficiente $\rho$
Por lo tanto, para los activos se mantiene:
$dS_{1} (t)=S_{1} (t) [r_{f}dt+\sigma_{1}\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}+\sigma_{1}dW_{1,t}^{P}]=S_{1} (t) [r_{f}dt+\sigma_{1}dW_{1,t}^{Q}]$
$dS_{2} (t)=S_{2} (t) [r_{f}dt+\mu_{2}dt-r_{f}dt+\sigma_{2}\rho (dW_{1,t}^{P}+\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}})-\sigma_{2}\rho\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}} +\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}(W_{0,t}^{P}+\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}})-\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}]=S_{2} (t) [r_{f}dt+\sigma_{2}\rho dW_{1,t}^{Q}+\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}dW_{0,t}^{Q}+{(\mu_{2}-r_{f})-\sigma_{2}(\rho+\sqrt{1-\rho^{2}})\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}}dt]=S_{2} (t) [r_{f}dt+\sigma_{2}dW_{2,t}^{Q}+{(\mu_{2}-r_{f})-\sigma_{2}(\rho+\sqrt{1-\rho^{2}})\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}}dt]$
Se puede ver que el proceso descontado de $S_{1}(t)$ es Martingale, por lo que la medida $Q$ es la Medida de Martingala Equivalente.
Según el segundo teorema de la fijación de precios de los activos, es único.
Por lo tanto, $e^{-r_{f}t} S_{2}(t)$ debería ser también martingala.
Por lo tanto,
$(\mu_{2}-r_{f})-\sigma_{2}(\rho+\sqrt{1-\rho^{2}})\frac{\mu_{1}-r_{f}}{\sigma_{1}}=0$
$\mu_{2}-r_{f}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(\rho+\sqrt{1-\rho^{2}})(\mu_{1}-r_{f})$ .
Gracias de antemano.
