Función de pérdida del banco central

Question

$$ L_t = \gamma(\pi_t - \pi_t^\otimes)^2 + \hat{Y}_t^2 $$

La función de pérdidas de los bancos centrales viene dada por la ecuación anterior. Esta pérdida es creciente y convexa en la distancia al objetivo de inflación, es decir, la pérdida marginal aumenta a un ritmo más rápido que el aumento de la distancia al objetivo.

En la figura 1, podemos visualizar las preferencias mediante curvas de indiferencia, donde las elipses tienen como centro el punto deseado (0, $\pi_t^\otimes$ = Punto de inflación objetivo). (punto de saturación - punto de felicidad)

Me resulta difícil ver cómo las diferentes elipses son curvas de indiferencia, o convexas desde en la diferencia del objetivo? Cualquier explicación ayudaría mucho.

Answer 1

La forma intuitiva

Dibujar la función $L_t$ El gráfico siguiente se construye con $\gamma = 0.8$ y $\pi_t^\otimes = 1$

Convexo en este contexto significa que la función $L_t$ parece un tazón, sólo un mínimo bien definido. Y si lo cortas con un plano horizontal, el resultado es una elipse.

La manera formal

Sólo por conveniencia, defina la variable $p_t = \pi_t - \pi_t^\otimes$ por lo que la función se convierte en

$$ L_t(p_t, Y_t) = \gamma p_t^2 + Y_t^2 \tag{B1} $$

Primero hay que tener en cuenta que si $\gamma > 0$ entonces $L_t(p_t, Y_t) \ge 0$ . Para demostrar la convexidad basta con demostrar que para cualquier par $(p_{t,1},Y_{t,1})$ y $(p_{t,2},Y_{t,2})$ la condición

$$ L_t(t p_{t,1} + (1 - t)p_{t,2}, t Y_1 + (1 - t)Y_{t,2}) < tL_t(p_{t,1}, Y_t) + (1 -t)L_t(p_{t,2}, Y_{t,2}) \tag{B2} $$

se mantiene para $ 0 < t < 1$ . En realidad, esto es bastante fácil de demostrar

\begin{eqnarray} L_t(t p_{t,1} + (1 - t)p_{t,2}, t Y_1 + (1 - t)Y_{t,2}) &=& \gamma[t p_{t,1} + (1 - t)p_{t,2}]^2 + (t Y_1 + (1 - t)Y_{t,2})^2 \\ &\vdots & \\ &=& t [\gamma p_{t,1}^2 + Y_{t,1}^2] + (1 - t) [\gamma p_{t,2}^2 + Y_{t,2}^2] \\ &&\quad + t(1 - t) [\gamma(p_{t,1} - p_{t,2})^2 + (Y_{t,1} - Y_{t,2})^2] \\ &=& tL_t(p_{t,1}, Y_t) + (1 -t)L_t(p_{t,2}, Y_{t,2}) \\ &&\quad \underbrace{t(1 - t)L_t(p_{t,1} - p _{t_2}, Y_{t,1} - Y_{t,2})}_{> 0} \\ &< & tL_t(p_{t,1}, Y_t) + (1 -t)L_t(p_{t,2}, Y_{t,2}) \tag{B3} \end{eqnarray}

Así que $L_t$ es convexo. Para demostrar que las curvas de indiferencia son elipses, basta con fijar $L_t$ a un valor constante, digamos $A > 0$ entonces tenemos

$$ A = \gamma p_t^2+ Y_t^2 \Rightarrow \frac{p_t^2}{A/\gamma} + \frac{Y_t}{A} = 1 \tag{B4} $$

que no son más que elipses centradas en $p_t = 0 = \pi_t - \pi_t^\otimes$ y $Y_t = 0$ con longitudes de eje $\sqrt{A/\gamma}$ y $\sqrt{A}$