¿Es el precio de la opción de compra de Bachelier sin descuento una Martingala?

Question

Mi profesor de finanzas matemáticas dijo una vez algo que no puedo entender. Espero que pueda responder:

Para un proceso de avance, el precio no descontado de una opción de compra europea según Bachelier es $$C_t = \left(f_t-K^*\right)\Phi\left(\frac{f_t-K^*}{v(t)}\right) +v(t)\,\phi\left(\frac{f_t-K^*}{v(t)}\right)$$

$C_t$ es una martingala

¿Cómo es que $C_t$ ¿es una martingala? He leído la mayor parte del libro de Bjork Teoría del Arbitraje y sé que el valor justo de un derivado $X$ es $$E^Q_t\left[\frac{X}{B_t}\right]$$ que es una martingala, ¿verdad?

¿Cómo es que el precio de la opción de compra de Bachelier sin descuento es martingala?

Sin embargo, esto es de mis notas personales, por lo que podría estar equivocado.

Answer 1

Dejemos que $P(t,T)$ denotan el tiempo $t$ precio de un bono de cupón cero que vence en el momento $T$ y $\mathbb{Q}_T$ sea la medida martingala equivalente asociada que utiliza $P(t,T)$ como numerario. Entonces, para cualquier $\mathcal{F}_T$ -retribución mensurable $\xi$ el tiempo $t$ valor de $\xi$ viene dada por $$V_t=P(t,T)\cdot\mathbb{E}^{\mathbb{Q}_T} [\xi\mid\mathcal{F}_t].$$ El sin descuento tiempo $t$ el precio viene dado por $$\tilde{V}_t = \frac{V_t}{P(t,T)} = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}_T} [\xi\mid\mathcal{F}_t].$$ Y efectivamente, $(\tilde{V}_t)$ es un $\mathbb{Q}_T$ -martingale. Asumiendo la integrabilidad y la adaptabilidad (trivial), necesitamos demostrar la propiedad martingala. Para ello, dejemos que $0\leq s<t\leq T$ . Entonces, por la ley de la torre, \begin{align*} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}_T}[\tilde{V}_t\mid\mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}^{\mathbb{Q}_T}\left[\mathbb{E}^{\mathbb{Q}_T} [\xi\mid\mathcal{F}_t]\bigg|\mathcal{F}_s\right] \\ &= \mathbb{E}^{\mathbb{Q}_T}[\xi\mid\mathcal{F}_s] \\ &= \tilde{V}_s. \end{align*}

Tenga en cuenta lo siguiente:

• Este resultado es completamente independiente del modelo Bachelier y se aplica igualmente al modelo Black-Scholes, al modelo Heston y a otros.
• Si los tipos de interés son deterministas, también lo son los precios de los bonos y las cuentas atrás. Por lo tanto, la medida a plazo $\mathbb{Q}_T$ coincide con la medida neutral de riesgo "estándar $\mathbb{Q}$ que utiliza una cuenta bancaria sin riesgo $B_t=e^{\int_0^t r(s)\mathrm{d}s}$ como numerario.