A root de una pregunta que surgió en los comentarios aquí es decir, por qué podemos aplicar el lema de Ito a una función de la forma $f(x)=(x-K)^{+}$ Me interesaría saber cuáles son las condiciones menos restrictivas sobre la suavidad de $f$ para que el lema de Ito siga siendo aplicable. ¡Una referencia a un libro/capítulo/teorema sería genial! ¿Sigue siendo un tema de investigación matemática o tenemos una caracterización exacta de la clase de funciones a las que se puede aplicar el lema de Ito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es un tema muy amplio por lo que mi respuesta no hará justicia, pero manteniéndonos en el tema de las configuraciones diferenciales dos veces continuas, el lema de Ito puede aplicarse a generalizada funciones (derivadas definidas en el sentido de la distribución) - ejemplos de tales funciones son la función de Heaviside, la delta de dirac, etc. La aplicación concreta a la que te refieres se llama Tanaka -Fórmula de Meyer- se desarrolló en el sentido del tiempo local, pero sólo fue necesario un ligero ajuste para demostrar que el lema de Ito funciona para funciones del tipo mencionado anteriormente.
En cuanto a la literatura, encontrará la cobertura de esta fórmula en la sección de tiempos locales de los libros de cálculo estocástico. Por ejemplo, Introduction to Stochastic calculus de Klebanar tiene un par de páginas sobre el tema. El segundo volumen de Diffusion Markov Processes and Martingales de Rogers y Williams tiene unas cuantas páginas sobre el tema. El libro Brownian Motion and Stochastic Calculus de Karatzas y Shreve también cubre el tema (según el comentario de @KeSchn más abajo).
