Intuición detrás del paseo aleatorio simétrico a escala

Question

Estoy leyendo una sección en Shreve (2008) donde estamos reduciendo el tamaño del paso pero acelerando el tiempo un paseo aleatorio simétrico, de modo que en el límite, producimos un movimiento browniano.

Entiendo el proceso, pero quiero entender la intuición con el montaje de la historia de la apuesta de 1 dólar.

¿Es correcta la siguiente intuición?

Considere una apuesta de 1 dólar en el lanzamiento de una moneda en la que si sale cara gana un dólar, de lo contrario pierde un dólar. La ganancia acumulada en esta variable aleatoria es un paseo aleatorio simétrico. Queremos acelerar el tiempo y reducir el tamaño de manera que

$$W^{(n)}(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}.$$

Por ejemplo, considere $t=4,n=100.$ Sin el escalamiento, usted lanzaría 4 veces, pero con el escalamiento usted está lanzando 400 monedas en 4 segundos. Del mismo modo, por cada tirada, tu paso hacia arriba o hacia abajo sería de 1 dólar, ya que así es como se define la apuesta, pero con el escalado, tu apuesta pasa a ser de 10 céntimos.

Referencia :
Shreve, Steven E. $\textit{Stochastic Calculus for Finance II : Continuous-Time Models}$ . Springer, 2008.

Answer 1

Es más fácil si interpretas el tiempo en años. Digamos que t=4 años.

Y el resto es más fácil si recuerdas el resultado final, queremos que este paseo aleatorio escalado se acerque a la browniana estándar, que tiene media cero y varianza t (viéndolo como intervalo desde el tiempo 0 hasta t=4).

Estamos repitiendo un juego de lanzamiento independiente e idéntico, donde la moneda es insesgada. Ahora, para obtener la media y la varianza deseadas, el tamaño de la apuesta tiene que estar relacionado con el número de pasos. Para un paso, lo que significa un tamaño de paso de 4 años, si establecemos el tamaño de la apuesta igual a 2, entonces la media será cero y la varianza será 4, como se desea. Este 2 está relacionado con el tamaño del paso: $\Delta t=\frac{4}{1}$ que en términos generales, asumiendo que m representa el número de pasos es $\Delta t=\frac{t}{m}$ . Así que el tamaño de la apuesta es root cuadrada de $\Delta t$ .

Ahora bien, si se aumenta el número de pasos a digamos 100, con el mismo t=4, entonces el tamaño de la apuesta sería: $\sqrt{\Delta t}=\sqrt{\frac{t}{m}} =\sqrt{\frac{4}{100}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$ . La media es entonces cero porque cada uno de los juegos tiene media cero, y la varianza de la suma de juegos independientes e idénticos es igual a la suma de las varianzas, que por homogeneidad es $100*\frac{1}{25}=4$

En la configuración de Shreve, cada unidad de t se subdivide en n pasos, por lo que nuestro m=n*t; su t=4 y n=1, equivale a m=4, lanzará la moneda 4 veces, cada vez fijando el tamaño de la apuesta igual a $\sqrt{\frac{t}{m}}=1$ . Para t=4, n=100, se tiene m=400, y el tamaño de la apuesta sería $\sqrt{\frac{t}{m}}=\sqrt{\frac{4}{400}}=0.1$