Loterías y utilidad esperada

Question

Supongamos que tenemos las siguientes cuatro loterías:

$L_{1}=[(1,\$ 1)]$

$L_{2}=[(0.01,\$ 0),(0.89, \$1),(0.1,\$ 5)]$

$L_{3}=[(0.9,\$ 0),(0.1, \$5)]$

$L_{4}=[(0.89,\$ 0),(0.11, \$1)]$

Si nuestro agente dice que prefiere $L_{1}$ a $L_{2}$ y prefiere $L_{3}$ a $L_{4}$ entonces no está siguiendo el supuesto de utilidad esperada de la independencia (también conocido como sustituibilidad).

¿Alguien sabe cómo explicar esto?

Answer 1

Su ejemplo es el clásico Paradoja de Allais .

Creo que la mejor manera de ver cómo el patrón de preferencia $L_1\succ L_2$ y $L_3\succ L_4$ viola la independencia es visualizarla geométricamente. Consideremos la siguiente figura:

Observe que \begin{align} L_2&=L_1+(0.01,-0.11,0.1)\\ L_3&=L_4+(0.01,-0.11,0.1). \end{align} Por lo tanto, las curvas de indiferencia que pasan por $L_1$ y $L_4$ deben ser paralelos. Como $L_1\succ L_2$ La última lotería debe estar por debajo del CI a través de $L_1$ . Por implicación del paralelismo de los CI, $L_3$ también debe estar por debajo del CI a través de $L_4$ . Pero se nos da que $L_3\succ L_4$ . Esto significa que $L_4$ se encuentra por debajo del CI a través de $L_3$ (línea discontinua azul). Dado que el paralelismo de los CI es una condición necesaria para la independencia, la preferencia del agente es inconsistente con la independencia, porque sólo puede justificarse por un conjunto de CI no paralelos.

Alternativamente, se puede pensar en la inconsistencia entre la preferencia del agente y la teoría de la utilidad esperada de la siguiente manera. Supongamos que la teoría de la utilidad esperada es válida. Entonces $L_1\succ L_2$ es equivalente a la desigualdad \begin{equation} u(\$1)>0.01u(\$0)+0.89u(\$1)+0.1u(\$5). \end{equation} Añadiendo $0.89u(\$ 0)-0.89u( \$1)$ en ambos lados, obtenemos \begin{equation} 0.89u(\$0)+0.11u(\$1)>0.9u(\$0)+0.1u(\$5). \end{equation} Pero esta segunda desigualdad es simplemente decir $L_4\succ L_3$ que es contradictoria con la preferencia del agente.

Answer 2

He estado trabajando en ello y creo que esta es la manera de enfocarlo:

Escriba las loterías de la siguiente manera:

$L_{1}=[(0.89,\$ 1),(0.11, \$1)]$

$L_{2}=[(0.89,\$ 1),(0.11,L')] $ where we compound $ L' $ inside $ L_{2} $ with $ L'=[(\frac{1}{11}, \$0),(\frac{10}{11},\$ 5)]$

$L_{3}=[(0.89,\$ 0),(0.11,L')] $ using the same $ L'$

$L_{4}=[(0.89,\$ 0),(0.11, \$1)]$

Tenemos $L_{1}$ es preferible a $L_{2}$ .

Así, por la hipótesis de independencia o sustituibilidad, el cambio del valor de la lotería de $(0.89,\$ 1) $ to $ (0.89, \$0)$ con todo lo demás constante, no debería cambiar nuestras preferencias. Por lo tanto, si se sigue la hipótesis, deberíamos tener $L_{4}$ es preferible a $L_{3}$ .

Sin embargo, $L_{3}$ es preferible a $L_{4}$ Así que no es el caso.

¿Qué opina de este enfoque? ¿Es válido?

Answer 3

Esto no es más que el argumento de @Sadem formalizado. Nótese que no necesitamos usar ninguna representación de la función de utilidad, podemos usar simplemente la preferencia sobre las loterías junto con el axioma de independencia.

El axioma de la independencia, formalmente enunciado es: $L'' \succeq L'$ $\Leftrightarrow$ $$\alpha L'' + (1-\alpha) L \succeq \alpha L' + (1-\alpha) L$$ $\forall L, L', L'' \in \mathcal{L}$ y $\forall \alpha \in (0,1)$ .

Definir $L'' := L_{1}$ , $L' := \big((0,1/11), (5,10/11)\big)$ , $L := L_{1}$ y $\alpha = .11$ . Así, la primera afirmación implica $$\alpha L'' + (1-\alpha) L \succ \alpha L' + (1-\alpha) L$$

Ahora, define $L''' := (0,1)$ . Por lo tanto, la segunda afirmación implica $$\alpha L'' + (1-\alpha) L''' \prec \alpha L' + (1-\alpha) L'''$$

Por lo tanto, se viola el axioma de independencia.

Answer 4

La utilidad esperada de $L_1$ y $L_2$ son:

$E(L_1)=\sum_{i=1}^{n=1}{p_iu_i}=1*1= 1$ $

$E(L_2)=\sum_{i=1}^{n=3}p_iu_i=0.01*0+0.89*1+0.1*5= 1.39$ $

Por lo tanto, si el agente dice que prefiere $L_1$ a $L_2$ entonces no está siguiendo el supuesto de utilidad esperada de la independencia como $E(L_2) > E(L_1)$ .

Del mismo modo, con $L_3$ y $L_4$

$E(L_3)=\sum_{i=1}^{n=2}p_iu_i=0.05$ $

$E(L_4)=\sum_{i=1}^{n=2}p_iu_i= 0.11$ $

Porque $E(L_4)>E(L_3)$ si el agente dice que prefiere $L_3$ a $L_4$ entonces tampoco está siguiendo el supuesto de utilidad esperada de la independencia.

Espero que esto sea útil.