Consideremos el problema de consumo-ahorro determinista:
$ V(a_t) = \underset{c}{\max} \int_{\tau =t}^{\tau = \infty} e^{-\rho (\tau - t) } u(c_{\tau}) d\tau $ w/ $u(c)=\frac{c^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}$ y $\gamma, \rho >0$
s.t.
$\frac{da}{d\tau} = \left( r a_{\tau} - c_{\tau} \right) $
Condición inicial: $a(0)=a_0$ dado
Condición de terminal: $ \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} \lambda(t) a_{t} =\underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} u'(c_{t}) a_{t} =\underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} V_{a}(a_{t}) a_{t} =0$
Llamemos al problema de optimización anterior "Problema secuencial" SP & denota el conjunto de soluciones $\text{Sol}(\textbf{SP}):= \{V(a_t), c(a_t): \text{solve }\textbf{SP} \}$ .
En los supuestos habituales $\text{Sol}(\textbf{SP})$ es un conjunto con un elemento.
Usando el Hamiltoniano podemos resolver un sistema de dos BV-ODEs en forma cerrada.
Definir: $\omega \equiv \left(\frac{r-\rho}{\gamma}\right)$
$c(a_{t}) = \left(r - \omega \right) \times a_{t}$
$a_{t}=a_{0}e^{\omega t}$
$\text{TVC: } \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} u'(c_{t}) a_{t} = \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} \left( (r - \omega)a_{t} \right)^{-\gamma} a_{t} = \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} \left( a_{t} \right)^{1-\gamma} = \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} \left( a_{0}e^{\omega t} \right)^{1-\gamma} = \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-\rho t} e^{(1-\gamma) \omega t} = \underset{t\to\infty}{\lim} e^{-(\rho - (1-\gamma) \omega ) t} =0 \Leftrightarrow \rho - (1-\gamma) \omega >0 $
Nota: $\rho - (1-\gamma) \omega = r - \omega$ TVC mantiene $\Leftrightarrow \rho - (1-\gamma) r >0$
$V(a_{t}) = \frac{-1}{(1-\gamma)\rho} + \frac{1}{\rho - (1-\gamma)\omega} \frac{\left( \left(r - \omega \right) \times a_{t} \right)^{1-\gamma} }{1-\gamma}$
Nota: $V_{a}= \frac{\left(r - \omega \right)}{\rho - (1-\gamma)\omega} \left( \left(r - \omega \right) \times a_{t} \right)^{-\gamma} = \left( \left(r - \omega \right) \times a_{t} \right)^{-\gamma} \Rightarrow c(a_t) =u'^{-1}(V_a) $
HJB : $\rho V(a_t) = \underset{c}{\max} \{ u(c_{t}) + V_a \times (r a_{t} - c_{t}) \}$
Denotemos el conjunto de soluciones $\text{Sol}(\textbf{HJB})$ .
FONC: $ u'(c_{t}) - V_a =0 \Rightarrow c(a_t) = (V_a)^{-\frac{1}{\gamma}} \Rightarrow V_a > 0 $
Plugin: $ \Rightarrow u(c) - cV_a = \frac{\gamma (V_a)^{1-\frac{1}{\gamma}}}{1-\gamma} - \frac{1}{1-\gamma} $
SOSC: $u''(c_{t})<0 \Rightarrow u''\left( (V_a)^{-\frac{1}{\gamma}} \right)<0 $
Podemos combinar estas ecuaciones (HJB y FONC maximizados)
$ \left[\begin{array}{l} \rho V(a_{t}) = u(c_{t}) + V_{a}(a_{t})\times \left(ra_{t} - c_{t} \right) \\ c(a_{t}) = (V_{a}(a_{t}))^{-\frac{1}{\gamma}} \end{array} \right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \rho V(a_{t}) = \frac{\gamma (V_a)^{1-\frac{1}{\gamma}}}{1-\gamma} - \frac{1}{1-\gamma} + V_a \times r a_{t} \end{array} \right] $
DE : $\rho V(a_t) = \frac{\gamma (V_a)^{1-\frac{1}{\gamma}}}{1-\gamma} - \frac{1}{1-\gamma} + V_a \times r a_{t} $
Denotemos el conjunto de soluciones $\text{Sol}(\textbf{DE})$ .
DE es una ecuación no lineal (EDO de primer orden) con múltiples soluciones $V(a_t)$ .
- Sol 1: $V(a)=\frac{1}{\rho (\gamma-1)}$ , resuelve DE , si $\gamma>1$
Nota: mientras que Sol 1 resuelve DE no resuelve el $\max$ parte de HJB por ejemplo, añadiendo $V_a >0$ a DE descartará el Sol 1, pero esta condición no es suficiente para fijar el sol en SP . - Sol 2: $V(a)=B_0 + B_1 a$ , resuelve DE , si $r=\rho$ y $\rho B_0 = \frac{\gamma (B_1)^{1-\frac{1}{\gamma}}}{1-\gamma} - \frac{1}{1-\gamma}$ .
Nota: condición $V_a>0$ se cumple si $B_1 >0$ . - Sol 3: Walde 2010 afirma que este problema también tiene una solución estrictamente convexa (creo) en una nota que no entiendo del todo
- Sol 4: $V(a_{t}) = \frac{-1}{(1-\gamma)\rho} + \frac{1}{\rho - (1-\gamma)\omega} \frac{\left( \left(r - \omega \right) \times a_{t} \right)^{1-\gamma} }{1-\gamma}$ , resuelve DE
Lo tenemos: $\text{Sol}(\textbf{SP}) \subseteq \text{Sol}(\textbf{HJB}) \subseteq \text{Sol}(\textbf{DE}) $
Q1 ¿Qué condiciones tiene el $V(a)$ necesitan satisfacer s.t. la solución de DE es también la solución del problema de optimización SP ?
- Mi comprensión de viscosidad para dummies es que mientras DE tiene muchas soluciones, la solución óptima es la única "solución de viscosidad"
Q2 ¿por qué las soluciones constantes y afines anteriores no satisfacen las condiciones de una solución de viscosidad?
-los autores de "viscosity for dummies" no proporcionan un ejemplo sencillo de un HJB con múltiples soluciones de forma cerrada y muestran que sólo la solución óptima satisface las propiedades
