Tengo una opción cuyo pago depende de su valor en dos momentos $T_1$ y $T_2$ de la siguiente manera.
$$V(t) = \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B} (S(T_2)-K)^+)],$$
donde el precio de las acciones sigue la dinámica del GBM $\mathrm{d}S_t=\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ . ¿Cómo puedo calcular su valor utilizando el enfoque BS?
Tenemos
$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B} (S(T_2)-K)^+)] \\ &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K} (S(T_2)-K))] \\ &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K} S(T_2)]-K\mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K}] \\ \end{align} $$
El segundo término es igual a $$ \begin{align} \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K}] &= P(S(T_1)>B,S(T_2)>K)\\ &=P( W_{T_1}>\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_1}{\sigma},W_{T_2}>\frac{\ln(\frac{K}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_2}{\sigma}) \\ &=P( -W_{T_1}<-\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_1}{\sigma},-W_{T_2}<\frac{\ln(\frac{K}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_2}{\sigma}) \\ &=\Phi_2 ((-d_1,-d_2);(0,0);\mathbf{\Sigma}) \end{align} $$ donde
Para el primer término, haga un cambio de medida con $S_t$ como el numerario, se puede transformar en $$\mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K} S(T_2)] = \mathbb{E}^{Q_S}[\mathbb{1}_{S'(T_1)>B}\mathbb{1}_{S'(T_2)>K}]$$ después, aplicando el mismo método utilizado para el segundo término. Q.E.D
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Para $t<T_1$ , \begin{align} V_t &= e^{-r(T_2-t)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}_t\left[ (S_{T_2}-K)^+\mathbb{1}_{\{S_{T_1}>B\}}\right] \\ &= e^{-r(T_2-t)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}_t\left[\mathbb{E}^{\mathbb Q}_{T_1}\left[ (S_{T_2}-K)^+\mathbb{1}_{\{S_{T_1}>B\}}\right]\right] \\ &= e^{-r(T_1-t)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}_t\left[ e^{-r(T_2-T_1)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}_{T_1}\left[ (S_{T_2}-K)^+\right]\mathbb{1}_{\{S_{T_1}>B\}} \right] \\ &= e^{-r(T_1-t)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}_t\left[C_{T_1}\mathbb{1}_{\{S_{T_1}>B\}} \right], \end{align} donde $$C_{T_1}=S_{T_1}e^{-q(T_2-T_1)}N(d_1) - Ke^{-r(T_2-T_1)}N(d_2).$$
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Además, tenga en cuenta que $$\mathbb{E}[f(X)\mathbb{1}_{\{X>B\}}]=\mathbb{E}\left[f(X)|\{X>B\}\right]\text{Pr}[\{X>B\}].$$ La probabilidad puede calcularse fácilmente $$\mathbb{Q}_t[\{S_{T_1}>B\}]=N\left(\frac{\ln\left(\frac{S_t}{B}\right)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T_1-t)}{\sigma\sqrt{T_1-t}}\right).$$
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@Kevin: No creo que este enfoque funcione porque tienes $S_{T_1}$ en $d_1$ y $d_2$ .
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@NN2 Porque $C_{T_1}$ depende de $S_{T_1}$ de forma no lineal, calculando $\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[C_{T_1}\mathbb{1}_{\{S_{T_1}>B\}}\right]$ no es trivial. Por eso el segundo comentario ilustra que hay que calcular una expectativa condicional, debido a la covarianza entre el precio de la opción, $C_{T_1}$ y el indicador, $\mathbb{1}_{\{S_{T_1}>B\}}$ . Mi comentario dejó abierto cómo computar $\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}[C_{T_1}|\{S_{T_1}>B\}]$ (Ahora mismo no tengo mucho tiempo). ¿Me he perdido algo en lo que me he equivocado por completo? Tu respuesta es posiblemente más fácil, ¡por eso la he votado! :)
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@Kevin Gracias por el upvoting. Efectivamente, lo que quería decir es que es difícil tener una solución de forma cerrada porque no es trivial calcular la expectativa condicional mientras haya $S_{T_1}$ en el $N(...)$ como has dicho.