¿Cómo calcular el valor actual de esta opción dependiente de la trayectoria?

Question

Tengo una opción cuyo pago depende de su valor en dos momentos $T_1$ y $T_2$ de la siguiente manera.

$$V(t) = \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B} (S(T_2)-K)^+)],$$

donde el precio de las acciones sigue la dinámica del GBM $\mathrm{d}S_t=\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ . ¿Cómo puedo calcular su valor utilizando el enfoque BS?

Answer 1

Tenemos

$$\begin{align} V(t) &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B} (S(T_2)-K)^+)] \\ &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K} (S(T_2)-K))] \\ &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K} S(T_2)]-K\mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K}] \\ \end{align}$$

El segundo término es igual a $$\begin{align} \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K}] &= P(S(T_1)>B,S(T_2)>K)\\ &=P( W_{T_1}>\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_1}{\sigma},W_{T_2}>\frac{\ln(\frac{K}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_2}{\sigma}) \\ &=P( -W_{T_1}<-\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_1}{\sigma},-W_{T_2}<\frac{\ln(\frac{K}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_2}{\sigma}) \\ &=\Phi_2 ((-d_1,-d_2);(0,0);\mathbf{\Sigma}) \end{align}$$ donde

• $\Phi_2(\mathbf{x};\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma})$ es la función de probabilidad acumulada de $(X_1,X_2)$ siguiendo la distribución normal bivariada $\mathcal{N}_2(\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma})$
• $\mathbf{\Sigma}$ es la matriz de covarianza de $(-W_1,-W_2)$ y $$d_i =\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_i}{\sigma}$$

Para el primer término, haga un cambio de medida con $S_t$ como el numerario, se puede transformar en $$\mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K} S(T_2)] = \mathbb{E}^{Q_S}[\mathbb{1}_{S'(T_1)>B}\mathbb{1}_{S'(T_2)>K}]$$ después, aplicando el mismo método utilizado para el segundo término. Q.E.D