Prueba sobre bono cupón cero descontado

Question

¡Hola chicos, estoy teniendo problemas para terminar esta prueba!

Proposición 5.1 Bajo las suposiciones anteriores, el proceso $r$ satisface bajo $\mathbb{Q}$ $$d r(t)=\left(b(t)+\sigma(t) \gamma(t)^{\top}\right) d t+\sigma(t) d W^{*}(t)$$

donde $W^{*}(t)=W(t)-\int_{0}^{t} \gamma(s)^{\top} d s$ denota la transformación de Girsanov del movimiento Browniano $\mathbb{Q}$.

Ahora sé que $\frac{P(t, T)}{B(t)}$ es el bono cupón cero descontado y es una martingala bajo $\mathbb{Q}$ donde $P(t, T)=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_{t}^{T} r(s) d s} \mid \mathcal{F}_{t}\right]$.

Ahora necesito demostrar que: Para cualquier $T>0$, existe un proceso adaptado de valor $\mathbb{R}^{d}$ -valued proceso $v(t, T), t \leq T$ tal que $$\frac{d P(t, T)}{P(t, T)}=r(t) d t+v(t, T) d W^{*}(t) .$$ $$\frac{P(t, T)}{B(t)}=P(0, T) \mathcal{E}_{t}\left(\int_{0} v(s, T) d W^{*}(s)\right)$$

Mi intento hasta ahora:

Recordemos que $d\left(\frac{P(t, T)}{B(t)}\right)$ es una martingala, por lo tanto existe $k(t, T)$ tal que $d\left(\frac{P(t, T)}{B(t)}\right)$$= k(t, T) w_{t}^{*} .$

Sea $V(t, T)=\frac{K(t, T)}{\frac{P(t, T)}{B(t)}}$ entonces:

$\frac{d\left(\frac{P(t, T)}{B(t)}\right)}{\frac{P(t, T)}{B(t)}}=V(t, T) d w^{*}(t)$

No estoy seguro de cómo resolver la ecuación diferencial para llegar al final de la prueba.

Answer 1

Su intento es correcto en lo que respecta a la segunda ecuación. Sin embargo, incluiré esto en mi respuesta: Sabes que $$d\left(\frac{P(t,T)}{B(t)}\right)=k(t,T)\,dW^*_t\quad\quad\quad\quad\quad\text{(1)}$$ (donde corregí tu notación). Aplicando el lema de Ito a la LHS de esta relación obtenemos $$\frac{dP}{B}-P\frac{dB}{B^2}=\frac{P}{B}\left(\frac{dP}{P}-\frac{dB}{B}\right)=\frac{P}{B}\left(\frac{dP}{P}-r\right)\,.$$ Al establecer $v(t,T)=\frac{B(t)}{P(t,T)}k(t,T)$ obtenemos obviamente $$\frac{dP}{P}-r=v(t,T)\,dW^*_t\,.$$ Esta es la primera ecuación que querías mostrar. Para ver la segunda ecuación observamos que a partir de (1) obtenemos directamente $$\frac{d\left(\frac{P(t,T)}{B(t)}\right)}{\frac{P(t,T)}{B(t)}}=v(t,T)\,dW^*_t\,.$$ Según la fórmula de Ito esto es equivalente a $$\frac{P(t,T)}{B(t)}=P(0,T)\,{\cal E}\left(\int_0^tv(s,T)\,dW^*_s\right)\,.$$