Supongamos que existe un agente económico con la función de utilidad $u(x,y)$ . Un segundo agente tiene la función de utilidad $h(g(f(u(x,y))))$ .
¿Estoy en lo cierto al pensar que si $f'(x)>0$ , $g'(x)>0$ y $h'(x)>0$ entonces $h(g(f(u(x,y))))$ también debe ser positiva y, por tanto $h(g(f(u(x,y))))$ es una transformación monótona positiva de $u(x,y)$ ?
Si no es así, ¿por qué?
El valor de $h(g(f(u(x,y))$ no es necesariamente positiva, pero la transformación $u \rightarrow h \circ g \circ f \circ u$ es una transformación monótona positiva.
Para comprobarlo, tome cualquier $(x,y,z,w)$ . Tenemos la siguiente cadena de equivalencias: \begin{align} u(x,y) \geq u(z,w) & \Leftrightarrow f(u(x,y)) \geq f(u(z,w)) \text{ since } f \text{ is increasing} \\ & \Leftrightarrow g(f(u(x,y)) \geq g(f(u(z,w)) \text{ since } g \text{ is increasing} \\ & \Leftrightarrow h(g(f(u(x,y))) \geq h(g(f(u(z,w))) \text{ since } h \text{ is increasing} \end{align} Así, la transformación $u \rightarrow h \circ g \circ f \circ u$ preserva la ordenación, es decir, es una transformación monótona positiva.
Otra forma de verlo es suponer que todas las funciones son diferenciables y observar que \begin{equation*} \frac{d (h \circ g \circ f )(x)}{dx}= f'(x) g'(f(x)) h'(g(f(x)) \end{equation*} que es positivo ya que $f'>0,g'>0,h'>0$ .
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