Interpretación de Alpha en el modelo de crecimiento de Solow

Question

Consideremos el modelo de Solow (sin tecnología):

$Y = F(K, L) = K^\alpha L^{(1-\alpha)}$

¿Cuál es la interpretación económica de $\alpha$ ? Demuestra y argumenta el resultado.

Lo veo como una parte que va al capital y $1-\alpha$ es la parte que se pone a parir, pero ¿cómo lo demuestro matemáticamente?

Answer 1

No entiendo muy bien a qué te refieres con "parte que entra en el capital", pero la interpretación común es que $\alpha$ es la parte de la renta/producción que se gasta en capital.

Puedes demostrarlo de la siguiente manera: Dado que los factores serán compensados según sus productos marginales, bajo el supuesto de mercados competitivos, tenemos (para el capital):

$$ \frac{\partial Y}{\partial K}= \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha}=\frac{r}{p}, $$ donde $\frac{r}{p}$ es la renta real.

Así que la cantidad de ingresos gastados en capital es igual al precio por la cantidad, que en este caso es, $$ \frac{\partial Y}{\partial K}\frac{K}{Y}= \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha}\frac{K}{K^{\alpha}L^{1-\alpha}} \\ \frac{\partial Y}{\partial K}\frac{K}{Y}= \alpha $$

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Answer 2

Representa dos cosas: (1) la elasticidad de la producción con respecto al capital, y (2) la participación del capital en la producción.

Para demostrar (1), basta con tomar el logaritmo natural de la ecuación de producción, y luego tomar la derivada de la ecuación registrada con respecto al tiempo. $$\ln{Y} = \alpha \ln{K} + (1 - \alpha)(\ln{A} + \ln{L})$$ $$\frac{\dot{Y}}{Y} = \alpha \frac{\dot{K}}{K} + (1 - \alpha)\Big(\frac{\dot{A}}{A} + \frac{\dot{L}}{L}\Big).$$

Dividir ambos lados por $\dot{K}/K$ . Entonces tendrás la parte derecha como $$\frac{\dot{Y}/Y}{\dot{K}/K} = \frac{\dot{Y}}{\dot{K}}\Big(\frac{K}{Y}\Big) = \alpha + (1 - \alpha)\Big(\frac{\dot{A}}{A} + \frac{\dot{L}}{L}\Big)\frac{K}{\dot{K}}.$$

Esto se traduce en que la elasticidad de la producción con respecto al capital es igual a $\alpha$ más $(1-\alpha)$ veces la suma de las elasticidades productividad y trabajo, cada una con respecto al capital. En el modelo básico de Solow, las tasas de crecimiento de la productividad y del trabajo son constantes exógenas, por lo que estas últimas elasticidades son necesariamente iguales a cero. $$\frac{\dot{Y}}{\dot{K}}\Big(\frac{K}{Y}\Big) = \alpha.$$

Para demostrar (2), tome la derivada de la producción con respecto al capital para obtener el producto marginal del capital. Este es el tipo de interés $r$ . $$\frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha K^{\alpha-1}(AL)^{1-\alpha} = r$$

A continuación, multiplica ambos lados por $K/Y$ . El lado izquierdo es ahora $rK/Y$ que es la parte del capital en la producción. El lado derecho se simplifica en $\alpha.$

$$\frac{rK}{Y}= \frac{(\alpha K^{\alpha-1}(AL)^{1-\alpha})K}{K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}} = \alpha.$$

La parte izquierda de la última ecuación anterior puede resultar familiar, ya que está relacionada con la restricción presupuestaria de toda la economía: $Y=rK+wL.$

Answer 3

Siguiendo la interpretación alternativa de Yorgos, (sobre $\alpha$ que muestra la variación porcentual de $Y$ en $1\%$ cambio en $K$ ), una intuición puede ser también linealizar logarítmicamente su función de producción. De la siguiente manera

$\ln Y = \alpha \ln K + (1-\alpha) \ln L$ .

Entonces, recordando que el registro se puede utilizar para calcular las variaciones continuas, se podría sustituir, por ejemplo $K$ para $\exp(\Delta^K_{t+dt}) = \frac{K_{t+dt}}{K_t}$ , ídem para $Y$ y $L$ . Esto hace evidente, en un marco econométrico por ejemplo, la "naturaleza de elasticidad" de $\alpha$ .

$\Delta^Y_{t+dt} = \alpha \Delta^K_{t+dt} + (1-\alpha) \Delta^L_{t+dt}$

Evaluado en $\Delta^L_{t+dt} = 0$ obtenemos $\alpha = \frac{\Delta^Y_{t+dt}}{\Delta^K_{t+dt}}$