Dices que las pérdidas se reducen con la inversión, por lo que podemos escribir la pérdida (privada) en función de la inversión propia y la de los demás: $l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i})$ con $l^i_1(c_i,,\mathbf{c}^{-i})<0$ .
Jugador $i$ La utilidad de la empresa es $U^i(c^i,\mathbf{c}^{-i})=-f(l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i$ e invierte hasta que se cumple la condición de primer orden: $$-f'[l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i})]l^i_1(c^i,\mathbf{c}^{-i})-1=0.$$ La pérdida social es $$\sum_i\left[-f_i(l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c_i\right]$$ para que la condición de primer orden para el óptimo $c^i$ es $$-f'[l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i})]l^i_1(c^i,\mathbf{c}^{-i})-\left[\sum_{j\neq i}f'[l^j(c^j,\mathbf{c}^{-j})]\frac{\partial}{\partial c^i}l^j(c^j,\mathbf{c}^{-j})\right]-1=0.$$
Esto parece ahora un modelo de externalidad estándar, donde el beneficio externo de $i$ La inversión de la empresa es $$b^i(\mathbf{c}^{-i})=-\sum_{j\neq i}f'[l^j(c^j,\mathbf{c}^{-j})]\frac{\partial}{\partial c^i}l^j(c^j,\mathbf{c}^{-j})>0.$$
Si $l^i(\cdot)$ se conocen públicamente, entonces el problema puede resolverse fácilmente como imponiendo a $i$ una subvención pigouviana estándar de $b^i(\mathbf{c}^{-i})$ por unidad de inversión. Esto significa que $i$ (incluida la subvención) cuando $j\neq i$ elija $\mathbf{c}^{-i}$ es $$\underbrace{-f(l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i}_{U^i(c^i,\mathbf{c}^{-i})}+b^i(\mathbf{c}^{-i})c^i.$$ Una racionalidad $i$ maximizará este beneficio aumentado por la subvención; su condición de primer orden es $$-f'[l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i})]l^i_1(c^i,\mathbf{c}^{-i})\underbrace{-\left[\sum_{j\neq i}f'[l^j(c^j,\mathbf{c}^{-j})]\frac{\partial}{\partial c^i}l^j(c^j,c^{-j})\right]}_{b^i(\mathbf{c}^{-i})}-1=0,$$ que es exactamente igual a la condición de primer orden utilizada para maximizar el bienestar social. Por lo tanto, es un equilibrio de Nash para cada $i$ elegir el nivel de inversión socialmente eficiente dado que todos los demás hacen lo mismo.
Si el $l$ s son heterogéneos y con información privada, entonces las cosas se complican porque tenemos que conseguir que la gente revele su información privada. Supongamos que existe un planificador central benévolo con el poder de supervisar las inversiones de los agentes. Una forma de hacerlo es entonces, efectivamente, utilizar un mecanismo VCG. Funcionaría así: primero, el planificador central pide a cada agente que informe de su $l^i(\cdot)$ . Escriba $\widetilde{l}^i$ para los informes. A continuación, resuelve la condición de primer orden para el máximo de bienestar social dados los informes (posiblemente deshonestos). Así, maximiza $$\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})=\sum_i\left[-f_i(\widetilde{l}^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c_i\right].$$ A continuación, el planificador ordena a todos los jugadores que inviertan hasta el nivel óptimo. A cambio, promete pagar a cada uno $i$ una subvención igual a $$S^i=\max_{\mathbf{c}^{-i}}\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})-(-f(\widetilde{l}^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i)|c^i\right]-\max_{\mathbf{c^{-i}}}\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},c^1,\ldots,c^{i-1},0,c^{i+1},\ldots,c^n)-(-f(\widetilde{l}^i(0,\mathbf{c}^{-i})))\right].$$ Woah, ¿qué es esa cosa tan fea? El primer conjunto de corchetes es el bienestar que todos los demás $i$ se pone. El segundo es el bienestar que todos los que no son $i$ obtendría si $i$ se retiraran del mercado por completo. Por lo tanto, la diferencia entre ambos es $i$ La externalidad positiva de la empresa en todos los demás.
Ahora veamos $i$ de la paga:
$$U^i=S^i-f(\widetilde{l}^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i$$
Cuando se evalúa en el equilibrio $\mathbf{c}^{-i}$ algunos términos se cancelan y tenemos
$$U^i=\max_{\mathbf{c}^{-i}}\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})|c^i\right]-\max_{\mathbf{c}^{-i}}\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},c^1,\ldots,c^{i-1},0,c^{i+1},\ldots,c^n)-(-f(\widetilde{l}^i(0,\mathbf{c}^{-i})))\right]$$
El segundo corchete aquí no depende de $c^i$ (recuerde, es el excedente si $i$ se retiraran del mercado) por lo que $i$ El problema del Sr. G. se reduce a la elección de $c^i$ para maximizar $\max_{\mathbf{c}^{-i}}\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})|c^i\right]$ . Así, $i$ tiene el incentivo adecuado para elegir $c^i$ para maximizar el bienestar social con respecto a las $l$ s.
¿Qué pasa con el incentivo para informar $l$ ¿honestamente? El planificador social va a elegir el óptimo $c$ s para maximizar $$\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})=\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})-(-f(\widetilde{l}^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i)\right]+(-f(\widetilde{l}^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i)$$ (esto es sólo $\widetilde{W}$ con $i$ (se suma la utilidad de la empresa y se vuelve a restar). $i$ desea maximizar $$U^i=S^i+(-f(l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i)$$ que es $$U^i=\underbrace{\left[\widetilde{W}(\widetilde{\mathbf{l}},\mathbf{c})-(-f(\widetilde{l}^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i)\right]+z}_{S^i}+(-f(l^i(c^i,\mathbf{c}^{-i}))-c^i)$$ donde $z$ es el segundo término de $S^i$ (no depende de $\widetilde{l}^i$ ). Así vemos que la elección del planificador social coincidirá con $i$ es óptima exactamente cuando $l^i=\widetilde{l}^i$ para que $i$ tiene un incentivo para informar $l^i$ de verdad.
