Ecuación diferencial para la subasta de primer precio

Question

Quiero resolver una ecuación diferencial de la subasta de primer precio. En particular, a partir de la obra de Jonathan Levin de octubre de 2004 notas de clase tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$b'(s) = (s-b(s))(n-1)\frac{f(s)}{F(s)}$$

Resolviendo esto, deberíamos obtener

$$b(s) = s - \frac{1}{F^{N-1}} \int_\bar{s}^{s_i} F^{N-1}(\tilde{s}) \,{\rm d}\tilde{s}$$

Me gustaría entender cómo se obtiene esta ecuación.

Encontré un informe de noviembre de 2011 papel de Timothy P. Hubbard y Harry J. Paarsch en el que se habla de esta parte. En la página 6, aunque es una expresión regular de la ecuación diferencial, debería resolver la siguiente ecuación:

$$y=\frac{1}{\mu(x)}\int_{x_0}^x \mu(u)q(u) {\,\rm d}u + k$$

¿Podría ayudar a resolver esta ecuación para obtener $b(s)$ ?

Answer 1

Para simplificar la nota, permítanme definir la distribución $G(s) = F^{N-1}(s)$ con densidad $g(s)$ . Dejemos que $\underline{s} = 0$ (para simplificar).

Tenemos $$ b'(s)G(s)+b(s)g(s)=s g(s) $$ Integrar a $x$ nos da $$ \int_0^x b'(s)G(s)+b(s)g(s) ds = \int_0^x s g(s)ds $$ Observe que $\frac{\partial }{\partial s}(b(s)G(s)) = b'(s)G(s)+b(s)g(s)$ Así que $$ b(x)G(x) = \int_0^x s g(s) ds $$ donde utilizamos la condición de contorno de que $b(0) = 0$ .

Ahora, $$ b(x) = \frac{1}{G(x)}\int_0^x s g(s) ds $$

Por último, aplique la integración por partes a $\int_0^x s g(s)$ para conseguir $$ b(x) = \frac{1}{G(x)}\left[ G(x) x - \int_0^xG(y) dy\right]= x - \int_0^x\frac{G(y)}{G(x)} dy $$