Diferenciación implícita y función de beneficio

Question

Esta es la pregunta:

Una empresa produce una mercancía de salida. El coste de producir y vender $x$ unidades y gastos $y$ dólares en publicidad es $C = cx + y + d$ . La cantidad demandada resultante viene dada por $x = \gamma ap + b + R(y)$ donde $p$ es el precio por unidad. Suponemos que $R(0) = 0, R(y) > 0$ y $R(y) < 0$ . Las constantes $a, b, c, d$ son todos positivos.

1. Determinar la función de beneficio de la venta $x$ unidades y gastos $y$ dólares en publicidad; llámalo $\pi(x, y)$ .

2. Escribe y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $$\frac{\partial \pi(x^*,y^*)}{\partial x} = 0$$ $$\frac{\partial \pi(x^*,y^*)}{\partial y} = 0$$

donde $x^* > 0$ y $y^* > 0$ representan el número de unidades vendidas y la cantidad gastada en publicidad que maximizan los beneficios. En este caso, resolver el sistema significa encontrar una ecuación que sólo depende de $y$ la función $R(\cdot)$ (y su derivada), y los parámetros del problema $(a, b,...)$ - En otras palabras, una ecuación en la que $x^*$ ha desaparecido.

3. La ecuación encontrada en la pregunta anterior define $y^*$ implícitamente como función de $a, b,$ y $c$ . Encuentre $\frac{\partial y}{\partial b}$ por diferenciación implícita.

Vergonzosamente, mi problema parece estar en la función de beneficio. Si obtenemos una función de ingresos por $p \cdot x$ sólo nos queda una $x$ en la función de costes, no consigo averiguar cómo obtener una función de beneficios que dé como resultado $y^*$ en función de $b$ . ¿Alguien sabe qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Sólo estableceré la primera parte de su pregunta. A ver si a partir de ahí puedes avanzar.

Si intenta establecer los ingresos como $p \cdot x$ inmediatamente, obtendrá

$$p \cdot x = p \cdot (\gamma ap + b + R(y))$$

lo que, como usted señala, significa $x$ no estará en esta legislatura. El beneficio podría expresarse técnicamente en términos de $x, y$ en este caso, pero...

$$\pi(x, y) = p \cdot (\gamma ap + b + R(y)) - (cx + y + d)$$

es incómodo ya que $x$ puede expresarse en términos de $p$ y viceversa, así que ¿por qué tendríamos ambos en nuestra ecuación?

Así que, en su lugar, resuelve la función de demanda inversa:

$$x = \gamma ap + b + R(y) \implies \boxed{p = \frac{x - b - R(y)}{\gamma a}}$$

Por lo tanto, se puede resolver para $p \cdot x$ pero en lugar de sustituir por $x$ , se sustituye por $p$ . Una vez que resuelvas las condiciones de primer orden, deberías ser capaz de resolver $y$ en función de variables como $b$ .

Espero que esto ayude.