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Diferenciación implícita y función de beneficio

Esta es la pregunta:

Una empresa produce una mercancía de salida. El coste de producir y vender x unidades y gastos y dólares en publicidad es C=cx+y+d . La cantidad demandada resultante viene dada por x=γap+b+R(y) donde p es el precio por unidad. Suponemos que R(0)=0,R(y)>0 y R(y)<0 . Las constantes a,b,c,d son todos positivos.

  1. Determinar la función de beneficio de la venta x unidades y gastos y dólares en publicidad; llámalo π(x,y) .

  2. Escribe y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: π(x,y)x=0 π(x,y)y=0

donde x>0 y y>0 representan el número de unidades vendidas y la cantidad gastada en publicidad que maximizan los beneficios. En este caso, resolver el sistema significa encontrar una ecuación que sólo depende de y la función R() (y su derivada), y los parámetros del problema (a,b,...) - En otras palabras, una ecuación en la que x ha desaparecido.

  1. La ecuación encontrada en la pregunta anterior define y implícitamente como función de a,b, y c . Encuentre yb por diferenciación implícita.

Vergonzosamente, mi problema parece estar en la función de beneficio. Si obtenemos una función de ingresos por px sólo nos queda una x en la función de costes, no consigo averiguar cómo obtener una función de beneficios que dé como resultado y en función de b . ¿Alguien sabe qué estoy haciendo mal?

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No puedo leer uno de los símbolos de su ecuación de demanda, justo antes del ap . ¿Supongo que es "gamma"? Sería útil en el futuro si utilizas la función MathJAX de este sitio para escribir tus ecuaciones. Lo editaré para que quede más claro.

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Rex Puntos 5812

Sólo estableceré la primera parte de su pregunta. A ver si a partir de ahí puedes avanzar.

Si intenta establecer los ingresos como px inmediatamente, obtendrá

px=p(γap+b+R(y))

lo que, como usted señala, significa x no estará en esta legislatura. El beneficio podría expresarse técnicamente en términos de x,y en este caso, pero...

π(x,y)=p(γap+b+R(y))(cx+y+d)

es incómodo ya que x puede expresarse en términos de p y viceversa, así que ¿por qué tendríamos ambos en nuestra ecuación?

Así que, en su lugar, resuelve la función de demanda inversa:

x=γap+b+R(y)p=xbR(y)γa

Por lo tanto, se puede resolver para px pero en lugar de sustituir por x , se sustituye por p . Una vez que resuelvas las condiciones de primer orden, deberías ser capaz de resolver y en función de variables como b .

Espero que esto ayude.

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