Determinar el precio del contrato financiero

Question

Me pregunto si alguien puede ayudarme con la solución a esta pregunta de la "Teoría del arbitraje en tiempo continuo" de Björk:

En la fecha de vencimiento $T_2$ el titular de un contrato financiero obtener el importe: $$\frac{1}{T_2 - T_1 } \int_{T_1}^{T_2} S(u) du$$ donde $T_1$ es un punto de tiempo antes de $T_2$ . Determine el precio libre de arbitraje del contrato en el momento $t$ . Suponga que vive en un mundo Black-Scholes y que $t<T_1$ .

Al principio del libro afirma este teorema que creo que se puede utilizar:

El precio libre de arbitraje de una demanda $\Phi(S(T))$ está dada por: $$\Pi(t,\Phi)=F(s,t)$$ donde $F(\cdot,\cdot)$ viene dada por la fórmula $$F(s,t)=e^{-r(T-t)}E_{s,t}^Q [\Phi(S(T))]$$ donde el $Q$ -dinámica de $S(t)$ vienen dadas por $$dS(t)=rS(t)dt + S(t)\sigma(t,S(t))dW(t)$$

Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo aplicarlo en este caso. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Como se indica en el teorema que mencionas, el precio $\pi_t$ en $t$ de un contrato financiero que paga $\Phi(S_T)$ al vencimiento $T>t$ $-$ donde $\Phi(\cdot)$ es la función de recompensa y $(S_t)_{t \geq 0}$ es el activo subyacente $-$ viene dada por la expectativa condicional neutra al riesgo de su pago descontado:

$$\pi_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_t^Tr_udu}\Phi(S_T)|\mathcal{F}_t\right]$$

Suponiendo que la tasa libre de riesgo $(r_t)_{t \geq 0}$ es constante para todo $t$ el precio de su contrato financiero viene dado por:

$$\pi_t = \frac{e^{-r(T_2-t)}}{T_2-T_1}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\int_{T_1}^{T_2}S_udu|\mathcal{F}_t\right]$$

donde:

$$\Phi(S_{T_2}) = \frac{1}{T_2-T_1}\int_{T_1}^{T_2}S_udu$$

Por linealidad del operador de expectativas neutrales al riesgo $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\cdot]$ y la rentabilidad sin riesgo del activo $S_t$ en el marco de la medida $\mathbb{Q}$ tenemos:

$$\begin{align} \pi_t & = \frac{e^{-r(T_2-t)}}{T_2-T_1}\int_{T_1}^{T_2}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[S_u|\mathcal{F}_t\right]du \\[6pt] & = \frac{e^{-r(T_2-t)}}{T_2-T_1}\int_{T_1}^{T_2}S_te^{r(u-t)}du \\[6pt] & = \frac{e^{-r(T_2-t)}S_t}{T_2-T_1}\int_{T_1}^{T_2}e^{r(u-t)}du \\[6pt] & = e^{-r(T_2-t)}S_t\frac{e^{r(T_2-t)}-e^{r(T_1-t)}}{r(T_2-T_1)} \end{align}$$

Dejar $D(t,T)$ sea el factor de descuento

$$D(t,T) = e^{-r(T-t)}$$

y $\text{For}_S(t,T)$ el precio a plazo del activo $S_t$

$$\text{For}_S(t,T) = e^{r(T-t)}S_t$$

una representación conveniente del resultado es:

$$\pi_t = D(t,T_2)\frac{\text{For}_S(t,T_2)-\text{For}_S(t,T_1)}{r(T_2-T_1)}$$