Encontrar probabilidades utilizando el modelo binomial

Question

No pude encontrar una pregunta similar al buscar, pero si he pasado por alto alguna, por favor siéntete libre de señalarme la dirección. Desafortunadamente, el ejemplo más cercano en el libro de texto tampoco fue de mucha ayuda.

Estoy trabajando en un problema que me pide hacer uso del modelo binomial para la valoración de opciones en tiempo discreto con el objetivo de encontrar la probabilidad de que una opción de compra termine "in the money", es decir $S - K > 0$ donde $S$ es el valor del activo y $K$ es el precio de ejercicio de la opción. El problema no dice nada más, así que creo que quiero una probabilidad general en términos de $p$ y $q$.

Hasta ahora hemos usado principalmente el modelo binomial para determinar el valor de activos y opciones, así que no estoy seguro de por dónde empezar para encontrar la probabilidad.

La formulación que hemos usado fue de esta forma:

$V_0 = (1 + i)^{-N}E(F(S_n))

$ = (1 + i)^{-N} \sum_{j=0}^N {N \choose j} \times (S_0 \times u^j \times d^{N-j}) \times p^j \times q^{N-j}$

Donde $u$ y $d$ son los factores por los cuales un activo aumenta o disminuye en valor cada período.

Comencé tomando este modelo y reemplazando $F(S_n)$ con $F(S_n - K). Pero pensándolo bien, eso parece que solo me da el valor esperado. Si solo me centro en el componente de probabilidad, que es simplemente binomial, tenemos $p^j * q^{N-j}$ para cualquier evento dado, pero al no saber los otros parámetros, no sé cómo se supone que debo averiguar si la opción está in the money o no (por ejemplo, esto dependería de los valores de $u$ y $d$).

¡Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Primero encuentre el valor mínimo de j que asegura que la opción está in the money. Esto sería una función de u, d, n, S, K, p, q

Cualquier valor particular de j tiene una probabilidad asociada. Tú diste la fórmula arriba. Entonces necesitas sumar las probabilidades desde j=valor mínimo necesario hasta n. Consulta la distribución binomial en Wikipedia para encontrar la fórmula para la suma. La suma está basada en la función de distribución acumulativa de la distribución binomial. La función de distribución acumulativa no está en forma cerrada.

Answer 2

Solo vamos a tratar el aspecto de las probabilidades. La respuesta es más fácil de lo que piensas.

Considera el modelo más simple de un paso. Al final, la acción estará arriba (en $Su$) o abajo (en $Sd$). Subirá con una probabilidad p o bajará con una probabilidad (1-p). Así es cómo se calcula p:

$ p = \frac {e^{rT} - d}{u - d} $

Por ejemplo, considera una acción (de Hull), donde $ u = 1.1, d=0.9, r=0.12, T $ es 3 meses.

$ p = \frac {e^{0.12 \times 0.25} - 0.9}{1.1 - 0.9} = 0.6523

Ahora considera un modelo de dos pasos. La acción terminará en uno de los tres estados.

1. uu
2. ud o du
3. dd

Observa que porque la multiplicación es conmutativa, $S \times d \times u = S \times u \times d$, y llegamos al estado 2 a través de 1 a la baja y 1 al alza, sin importar si la baja o el alza llegaron primero. (Este es un árbol de recombinación. Si tenemos dividendos, el árbol no se recombinará y se vuelve más complejo.)

Las probabilidades de que ocurra cada uno de los estados corresponderán a:

1. $1 \times p^2
2. $2 \times p \times (1-p)
3. $1 \times (1-p)^2

¿Por qué los factores 1, 2, 1 al principio? Estos corresponden a los diferentes caminos para llegar allí, a saber, {uu}, {ud, du}, {dd} que tienen un tamaño de conjunto de 1, 2 y 1.

El modelo de tres pasos tendrá cuatro estados finales.

1. 3 u / 0 d: $1 \times p^3
2. 2 u / 1 d: $3 \times p^2 \times (1-p)
3. 1 u / 2 d: $3 \times p \times (1-p)^2
4. 0 u / 3 d: $1 \times (1-p)^3

Los factores 1, 3, 3, 1 corresponden a los diferentes caminos para llegar a los estados finales, es decir,

1. {uuu}
2. {uud, udu, duu}
3. {udd, dud, ddu}
4. {ddd}

Los multiplicadores son la función de combinatoria que describiste en tu pregunta. Otra forma de pensar en esto es a través del Triángulo de Pascal.

    1
   1 1
  1 2 1
 1 3 3 1
1 4 6 4 1

Una vez que entiendas el patrón, debería ser bastante fácil de extender.

Hay un gráfico mucho mejor que yo puedo dibujar en , y ninguna discusión de árboles binomiales de opciones estaría completa sin él. Mientras hay 3 caminos para llegar a cada uno de los cuadros centrales en el extremo derecho, solo hay 1 camino para llegar al cuadro superior.