Cómo obtener esta función de producción en las tasas de crecimiento

Question

Me cuesta entender cómo Khan y Reinhart (1990) pasan de la siguiente función de producción.

$$y=A f(K,L,Z)$$

Dónde $y$ es la producción de la economía, $A$ es una variable que contiene el cambio tecnológico, $K$ es el stock de capital de la economía, $L$ es la mano de obra (trabajo) de la economía, $Z$ es un vector de variables que contiene las covariables habituales.

En el siguiente resultado como expresión de las tasas de crecimiento.

$$\frac{dy}{y} = [A \frac{\partial y}{\partial K}]\frac{dK}{y} + [A \frac{\partial y}{\partial L} \frac{L}{y}]\frac{dL}{L} + [A \frac{\partial y}{\partial Z}\frac{Z}{y}]\frac{dZ}{Z} + \frac{dA}{A}$$

La información es que $y,K,L,Z$ son variables (redundante lo sé pero quiero dejarlo claro), sin embargo, en el artículo, mencionan $A$ como se supone que crece una tasa exógena (asumo que $A$ también se toma como variable en la primera ecuación). No aclaran más transformaciones, simplemente "términos de crecimiento".

La última expresión es mencionada por los autores como "términos de crecimiento" de $y=Af(K,L,Z)$ . pero lo perdí así. Normalmente para expresar las tasas de crecimiento simplemente uso logaritmos y diferencio en el tiempo. pero este enfoque no me queda claro.

Mi intuición es que $y$ se calculó con el diferencial total de la forma $$dy=\frac{\partial y}{\partial K}dK + \frac{\partial y}{\partial L}dL + \frac{\partial y}{\partial A}dA$$

y luego se dividió por $y$ . Sin embargo, nunca vi los diferenciales totales mientras estudiaba, así que no sé si $A$ está multiplicando $f$ y es posible que tengamos que proceder con la regla del producto de las derivadas? o ¿cuál es realmente el proceso para obtener el resultado de $dy/y$ como lo consiguen.

Referencia: Khan, M. S. & Reinhart, C. M. (1990) Private investment and economic growth in developing countries World Development, Volume 18, Issue 1, January 1990, Pages 19-27, DOI: https://doi.org/10.1016/0305-750X(90)90100-C

Answer 1

Dado

$$Y = Af(K,L,Z)$$

se deduce que

$$\dot Y = \dot A f + A\frac{\partial f}{\partial K}\dot K + A \frac{\partial f}{\partial L} \dot L + A \frac{\partial f}{\partial Z} \dot Z,$$

donde la expresión punteada son las derivadas temporales y dividiendo con $Y$ lo siguiente

$$\frac{\dot Y}{Y} = \frac{\dot A}{A} + \left[A\frac{\partial f}{\partial K}\right]\frac{\dot K}{Y}+ \left[A \frac{\partial f}{\partial L} \frac{1}{Y}\right] \dot L + \left[A \frac{\partial f}{\partial Z} \frac{1}{Y}\right]\dot Z ,$$

y dividiendo y multiplicando con $L$ y $Z$ en los sumandos pertinentes se deduce que

$$\frac{\dot Y}{Y} = \frac{\dot A}{A} + \left[A\frac{\partial f}{\partial K}\right]\frac{\dot K}{Y}+ \left[A \frac{\partial f}{\partial L} \frac{L}{Y}\right] \frac{\dot L}{L} + \left[A \frac{\partial f}{\partial Z} \frac{Z}{Y}\right]\frac{\dot Z}{Z} ,$$

y los términos entre corchetes se definen como $\alpha_1,\alpha_2$ y $\alpha_3$ siendo respectivamente

1. La productividad marginal del capital $\alpha_1 = A \frac{\partial f}{\partial K}$
2. La elasticidad de la producción con respecto al trabajo $\alpha_2 = A \frac{\partial f}{\partial L} \frac{L}{Y}$ y
3. La elasticidad de la producción con respecto a otros factores $\alpha_3 = A \frac{\partial f}{\partial Z} \frac{Z}{Y}$

En el texto los autores escriben $\partial Y/\partial X$ con $X\in \{K,L,Z\}$ en lugar de $\partial f/\partial X$ lo que debe ser un error tipográfico. Por ejemplo, es difícil convencerse de que con $Y = A f(K,L,Z)$ la productividad marginal del capital es $A \frac{\partial Y}{\partial K}$ y no en cambio $\frac{\partial Y}{\partial K} = A \frac{\partial f}{\partial K}$ .

Evidentemente, la errata no tiene importancia, ya que los términos están parametrizados a efectos de estimación.