¿Cómo simular 3 procesos bursátiles correlacionados siguiendo un GBM?

Question

Supongamos que tenemos 3 acciones siguientes GBM s.

Se nos da la distribución de la diario log returns que es normal multivariante.

Supongamos que quiero muestrear el precio de las acciones mañana ( $\Delta t = 1$ día), ¿podría simplemente muestrear un vector de retorno de esta distribución y luego decir que el precio de las acciones mañana es $S_0 \cdot \exp(r_\text{sample}\Delta t)$ ?

He estado discutiendo con mi amigo sobre esto y afirma que debería multiplicar por $\sqrt{\Delta t}$ ? No entiendo su argumento.

¿Hay algo malo en lo que estoy haciendo aquí?

Answer 1

La rentabilidad logarítmica de una acción durante un período $\Delta t $ a partir de $t=0$ se define como: $$ r_{\Delta t} = \ln \left( \frac{S_{\Delta t}}{S_0} \right) $$ Por lo tanto, debe calcular $S_{\Delta t}$ como $$ S_{\Delta t} = S_0 \exp ( r_{\Delta t} ) $$ cuando se le da la $\Delta t $ -período de retorno logarítmico, es decir, el que se muestrea como se propone más arriba. Por tanto, no hay que multiplicar por $\Delta t $ o su root cuadrada.

Tal vez su confusión se deba a que en la ecuación del BS utilizamos tradicionalmente tipos compuestos continuos: $$ \exp ( r_{\Delta t} ) = \exp \left( \int_0^{\Delta t} r (t) dt \right) = \exp ( r \Delta t ) $$ donde la última igualdad se mantiene cuando $r (t) = r $ una constante, y en cuyo caso debe utilizar $\Delta t \approx 1/252$ para calcular los rendimientos diarios si se utilizan cantidades anualizadas (lo que suele ser el caso)

Answer 2

Mezclas varias cosas:

si se toma una muestra del movimiento browniano, entonces $$ B_{t+\Delta t} - B_t $$ se distribuye normalmente con varianza $\Delta t$ . Por lo tanto, si se muestrea una normal estándar $Z$ (con varianza 1) entonces puede utilizar $$ \sqrt{\Delta t} Z $$ como muestra para $B_{t+\Delta t} - B_t$ para obtener la varianza correcta. Recordemos que los factores constantes entran en la varianza con el valor al cuadrado.

En su pregunta: ¿cómo se muestrea $r$ ? Y si $\Delta t=1$ entonces no importa en absoluto si se utiliza $\Delta t$ o $\sqrt{\Delta t}$ .