Ejercicio 4.7 (b) : Demuestre que bajo los supuestos 4.10 y 4.11, $T:H(X) \to H(X)$ .
$H(X)$ es el conjunto de funciones continuas y homogéneas de grado uno y $Tf(x) = \sup_{y \in \Gamma(x)} \{F(x,y) + \beta f(y)\}$ . La continuidad se deduce del teorema del máximo. Estoy un poco confundido con la demostración de $Tf$ es homogénea de grado uno. Según la solución, \begin{equation} \begin{split} Tf(\lambda x)& = \sup_{\lambda y \in \Gamma(\lambda x)} \{F(\lambda x,\lambda y) + \beta f(\lambda y)\}\\ & = \lambda \sup_{y \in \Gamma(x)} \{F(x,y) + \beta f(y)\} \\ & = \lambda Tf(x). \end{split} \end{equation} $\lambda$ se pueden sacar de las funciones porque son homogéneas de grado uno. Pero, ¿cómo podemos justificar el cambio de $\Gamma(\lambda x)$ a $\Gamma(x)$ ? Más concretamente, \begin{equation} \begin{split} Tf(\lambda x)& = \sup_{\lambda y \in \Gamma(\lambda x)} \{F(\lambda x,\lambda y) + \beta f(\lambda y)\}\\ & = \lambda \sup_{\lambda y \in \Gamma(\lambda x)} \{F(x,y) + \beta f(y)\} \\ & = \lambda \sup_{y \in \Gamma( x)} \{F(x,y) + \beta f(y)\} . \end{split} \end{equation} Entiendo la segunda igualdad, pero no entiendo la tercera.
Las hipótesis 4.10 y 4.11 son las siguientes: 
