¿Puedes calcular la duración modificada para los swaps?

Question

Sé cómo calcularlos para bonos. Pero se me vino a la mente esto.

En los bonos, la duración de Macaulay técnicamente es un promedio ponderado de los pagos de cupón. ¿Pero se puede calcular de alguna manera para swaps? ¿O al tratar con swaps, siempre es necesario utilizar la duración "contractual" como proxy?

Answer 1

Si sabes cómo calcularlos para bonos, sabes cómo calcularlos para swaps.

Suponiendo que te refieres a swaps de renta fija donde una parte recibe una tasa fija y paga una tasa variable o viceversa, la duración de un swap es la duración de la posición larga y la duración de la posición corta, que en este caso será una duración negativa. Digamos que se ingresa a un swap donde la parte 'A' recibirá una tasa variable y pagará una tasa fija. Esto es lo mismo que emitir un bono de tasa fija y usar los fondos de dicha emisión para comprar un bono de tasa variable. Por lo tanto, la duración del swap se puede resumir como:

$\text{duración del swap} = \text{duración de la posición larga} - \text{duración de la posición corta}$

En nuestro ejemplo, como la parte 'A' está endeudándose a tasa fija se vería beneficiada con el aumento de tasas y un menor valor de mercado. De la misma manera, verá el beneficio de ser largo en la tasa variable porque los pagos futuros reflejarán el aumento de tasas.

Para terminar, expresamos la idea con números. Digamos que la duración del bono a tasa variable para la parte 'A' es 0.125 y la duración en el lado corto es 0.75. En este caso, la duración del swap sería

$0.125 - 0.75 = -0.625$,

una duración negativa. Efectivamente, cuando las tasas suben, su posición corta valdría menos. Como nota de referencia $\text{cambio en precio} = -\,\text{duración} \cdot \text{cambio en rendimiento}$. Por lo tanto, cuando las tasas suben, el rendimiento del mercado aumentará y el valor de mercado de la posición corta disminuirá. Ingresar al mismo swap nuevamente requeriría que la parte 'A' pague una tasa fija más alta. La lógica opuesta se aplicará a su posición larga.

Answer 2

La duración de Macauley se define para bonos a tasa fija como

La suma es sobre todos los flujos de efectivo del bono, incluyendo los cupones y el principal al vencimiento.

Cada flujo de efectivo ocurre en t y tiene un valor presente denotado por VP.

V es la suma de todos los VP y por supuesto es igual al valor presente del bono.

Aunque en principio esta fórmula podría aplicarse en cualquier tipo de instrumento financiero siempre y cuando su valor presente V no sea 0, nadie lo hace en la práctica. La razón es que esta fórmula devuelve un valor en unidades de tiempo - por ejemplo, 8.5 años para un bono de 10 años - que resulta ser muy cercano a la sensibilidad del precio del bono respecto a las tasas de interés, pero solo si el instrumento es un bono a tasa fija.

Es fácil demostrar que para un bono a tasa fija y una tasa de descuento continua y compuesta y, la duración de Macaulay es igual a la duración modificada definida por

Esta igualdad se reduce a una aproximación cuando la tasa y no es de descuento continua o cuando los flujos de efectivo no corresponden a los de un bono a tasa fija.

Conclusión:

¡No tiene sentido utilizar la duración de Macauley para swaps!

Posible solución:

Hoy en día, la mayoría de las personas utilizan la duración modificada para representar en unidades anuales el riesgo de tasa de interés de ciertos instrumentos financieros porque esta definición de duración también se puede aplicar a instrumentos que pagan cupones a tasa variable.

Un flotador al par, por ejemplo, tendría una duración modificada exactamente igual a cero, si la tasa del primer cupón aún no se ha fijado. De lo contrario, su duración sería igual a la del primer cupón.

Algunas personas tienen la impresión de que pueden calcular la duración modificada de un swap considerando el swap como un portafolio de dos bonos: un bono largo a tasa fija y un flotador corto.

Luego, el argumento es que la duración del swap podría definirse como la suma de las dos duraciones.

No hay base para este argumento por la simple razón de que la duración modificada no es aditiva!

Esto se puede ver considerando un portafolio de dos bonos cero iguales, cada uno venciendo en 10 años. Si la duración modificada fuera aditiva, ¡la duración del portafolio sería igual a 10 + 10 = 20 años, lo cual es absurdo!

La definición correcta de la duración modificada D de un portafolio es: D = wD + wD + ... + wD donde D es la duración modificada del i-ésimo bono y w es el peso del bono i definido como: w = valor de mercado del bono i / valor de mercado del portafolio

Esta definición solo tiene sentido para portafolios de bonos largos. No tiene sentido para portafolios de posiciones largas y cortas mixtas.

Como prueba, considere un swap de receptor visto como un portafolio equivalente que consiste en un bono largo con una duración de 10 años y un flotador corto con duración cero. Suponga también que ambos bonos tienen un valor de mercado absoluto igual.

Luego, el valor de mercado total se vuelve cero y los pesos w y w saltan a infinito!

De hecho, el resultado final para la duración modificada también salta a infinito, como debería ser porque el concepto de duración modificada es un concepto "relativo": Expresa el riesgo de tasa de interés de un instrumento relativo a su valor de mercado actual.

Esta es también la intuición detrás de por qué la duración modificada no se puede aplicar a un swap.

¡Porque el riesgo de tasa de interés relativo de un swap es - al menos al inicio - infinito!

Lo que tiene sentido para swaps individuales o portafolios de swaps es el concepto de "duración en dólares", que se define como el DV01 plano de un swap habitual.

Por lo tanto, un gestor de portafolio debería calcular la "duración en dólares" de todo el portafolio sumando los DV01 de las transacciones realizadas. Si el portafolio está financiado externamente, es decir, si los instrumentos de financiamiento no forman parte del portafolio tal como es, por ejemplo, en el caso de portafolios de bonos puros, entonces tendría sentido dividir la "duración en dólares" calculada de esta manera con el valor de mercado del portafolio para llegar a una métrica de duración "relativa" que se puede interpretar como duración modificada de todo el portafolio.

Answer 3

El problema de la duración modificada (MD) se puede resolver fácilmente si uno se da cuenta de que el IRS fijo vs variable es simplemente un bono de cupón fijo. Aquí está la derivación:

$FixCpnLeg=C* \sum (T_i*Df_i)$

$FltCpnLeg=\sum{F_i*T_i*Df_i}$ donde $F_i = [1-Df_{i-1}/Df_i]/T_i$

Un IRS receptor es simplemente $IRSwp=FixCpnLeg - FltCpnLeg$. Si trabajas cuidadosamente la suma de $FltCpnLeg$, terminarás con $FltCpnLeg = 1 - Df_n$.

Juntándolo con $FixCpnLeg$, $IRSwp = C*\sum(T_i*Df_i)-(1 - Df_n) = C*\sum(T_i*Df_i)+ Df_n - 1$

Uno notará que los primeros 2 términos definen un bono de cupón fijo, donde $C*\sum(T_i*Df_i)+Df_n = FixCpnBondPrice$

Por lo tanto, la fórmula del precio del Swap simplemente vuelve a expresar el precio de un bono de cupón fijo en términos del factor de descuento en cada fecha de flujo de efectivo. El '1' es simplemente el precio del bono en la inauguración.

Para responder a tu pregunta, calcular la Duración Modificada de un IRS es simplemente calcular la MD de un bono de cupón fijo en sí mismo.

Espero que esto ayude.